— (306)

center000
کاربرد آزمون نسبت درستنمایی به منظور تخمین نقطه تغییر در پایش پروفایلهای خطی تعمیم یافته گسسته
سجاد عبدالتاجدینی
استاد راهنما:
دکتر یاسر صمیمی
پايان‌نامه برای دریافت کارشناسي ارشد
مهندسی صنایع – گرایش صنایع
آبان 1393

تقديم به :
پدر ، مادر و همسر مهربانم که همواره چون فانوسی در تاریک راه های زندگی ، مرا در تعیین راه از چاه ، یاری رساندند.

2661920833120

تاسيس 1307
دانشگاه صنعتي خواجه نصيرالدين طوسي
تأییدیه هیأت داوران شماره:
تاريخ:
هیأت داوران پس از مطالعه پایان‌نامه و شرکت در جلسه دفاع از پایان‌نامه تهیه شده تحت عنوان :
…….کاربرد آزمون نسبت درستنمایی بمنظور تخمین نقطه تغییر در پایش پروفایلهای خطی تعمیم یافته گسسته…….
توسط آقای …….سجاد عبدالتاجدینی……… ، صحت و کفایت تحقیق انجام شده را برای اخذ درجه کارشناسی ارشد رشته …..مهندسی صنایع……. گرایش …….صنایع……. در تاريخ ……../ ………/ ………13 مورد تأیید قرار می‌دهند.
1- استاد راهنما جناب آقای / سركار خانم دکتر ………..یاسر صمیمی……………….. امضاء
2- استاد مشاور جناب آقای / سركار خانم دکتر ……………………………………………….. امضاء
3- ممتحن داخلی جناب آقای / سركار خانم دکتر ……….حمید شهریاری…………. امضاء
4- ممتحن خارجی جناب آقای / سركار خانم دکتر ………..رسول نورالسنا………….. امضاء
5- معاونت آموزشی و تحصیلات تکمیلی دانشکده جناب آقای / سركار خانم دکتر ………..عماد روغنیان……………. امضاء
بسمه تعالي
center80772000
بسمه تعالي
center8689975
* mergeformat
تاسيس 1307
دانشگاه صنعتي خواجه نصيرالدين طوسي اظهارنامه دانشجو شماره:
تاريخ:
اینجانب …….سجاد عبدالتاجدینی……… دانشجوی کارشناسی‌ارشد رشته …..مهندسی صنایع……. گرایش …….صنایع……. دانشکده …..مهندسی صنایع……. دانشگاه صنعتي خواجه نصیرالدین طوسی گواهی می‌نمایم که تحقیقات ارائه شده در پایان‌نامه با عنوان:
…….کاربرد آزمون نسبت درستنمایی بمنظور تخمین نقطه تغییر در پایش پروفایلهای خطی تعمیم یافته گسسته…….
با راهنمايي استاد محترم جناب آقاي دكتر …..یاسر صمیمی….. ، توسط شخص اینجانب انجام شده و صحت واصالت مطالب نگارش شده در این پایان‌نامه مورد تأیید می‌باشد، و در مورد استفاده از کار دیگر محققان به مرجع مورد استفاده اشاره شده است. بعلاوه گواهی می‌نمایم که مطالب مندرج در پایان نامه تا کنون برای دریافت هیچ نوع مدرک یا امتیازی توسط اینجانب یا فرد دیگری در هیچ جا ارائه نشده است و در تدوین متن پایان‌نامه چارچوب (فرمت) مصوب دانشگاه را بطور کامل رعایت کرده‌ام. چنانچه در هر زمان خلاف آنچه گواهی نموده ام مشاهده گردد خود را از آثار حقیقی و حقوقی ناشی از دریافت مدرک کارشناسی ارشد محروم می دانم و هیچگونه ادعائی نخواهم داشت.
امضاء دانشجو:
تاریخ:
بسمه تعالي
center8712835
* mergeformat
تاسيس 1307
دانشگاه صنعتي خواجه نصيرالدين طوسي حق طبع و نشر و مالکیت نتایج شماره:
تاريخ:
1- حق چاپ و تکثیر این پایان‌نامه متعلق به نویسنده آن می‌باشد. هرگونه کپی برداری بصورت کل پایان‌نامه یا بخشی از آن تنها با موافقت نویسنده یا کتابخانه دانشکده ….مهندسی صنایع….. دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی مجاز می‌باشد.
ضمناً متن این صفحه نیز باید در نسخه تکثیر شده وجود داشته باشد.
2- کلیه حقوق معنوی این اثر متعلق به دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی می‌باشد و بدون اجازه کتبی دانشگاه به شخص ثالث قابل واگذاری نیست.
همچنین استفاده از اطلاعات و نتایج موجود در پایان نامه بدون ذکر مراجع مجاز نمی‌باشد.
تشکر و قدرداني:
در اینجا بر خود لازم می دانم از استاد گرانقدر جناب آقای دکتر صمیمی که در تهیه این پایان نامه من را راهنمایی کردند تشکر و قدردانی کنم.
center855345
چکیده
در بعضی از کاربردهای کنترل فرآیند آماری، عملکرد فرایند یا کیفیت محصول به وسیله رابطه بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل توصیف می شود که محققان این رابطه را پروفایل می نامند. طی سال های اخیر پایش پروفایل برای مشخصه های کیفی وصفی مانند برنولی، پواسون و چندجمله ای با استفاده از مدل های خطی تعمیم یافته مورد توجه محققین قرار گرفته است. نمودارهای کنترل مرسوم برای پایش پروفایل علیرغم توانایی بالای خود در تشخیص وضعیت فرآیند نمی توانند زمان و علت واقعی شرایط خارج از کنترل را مشخص کنند. علاوه بر این، معمولا فاصله زمانی زیادی بین زمانی که فرآیند واقعا از کنترل خارج شده است و زمانی که نمودار کنترل این وضعیت را با ارسال سیگنال اعلام می کند وجود دارد. برای حذف منابع اصلی انحراف با دلیل، تعیین زمان واقعی ایجاد انحراف در فرآیند که به آن نقطه تغییر گفته می شود اهمیت به سزایی دارد. هدف ما در این تحقیق استفاده از آزمون نسبت درستنمایی بمنظور پایش و تخمین نقطه تغییر در پروفایل های پواسون و لجستیک در فاز2 کنترل فرایند آماری و مقایسه این روش با روش تخمین بیشترین درستنمایی مبتنی بر بکارگیری نمودار کنترلT2 برای پایش ضرایب پروفایل می باشد. نتایج نشان می دهد که روش پیشنهادی با دقت بالاتری نسبت به روش بیشترین درستنمایی قادر به شناسایی زمان تغییر می باشد.
واژه هاي کليدي: کنترل فرآیند آماری، پروفایل لجستیک، پروفایل پواسون، مدل نقطه تغییر، الگوهای خطی تعمیم یافته، آزمون نسبت درستنمایی
center828040
2656205804545
فهرست مطالب
-9867645095800عنوان صفحه
فصل اول : مقدمه و کلیات موضوع
مقدمه 2
تعریف مساله 3
ضرورت انجام تحقیق و کاربردهای آن 4
اهداف تحقیق 4
مفروضات تحقیق 5
بیان روش انجام تحقیق 5
نوآوری های پایان نامه 6
ساختار پایان نامه 6
فصل دوم: بیان مفاهیم و مروری بر تحقیقات پیشین
2-1 مقدمه 8
2-2 مفاهیم کلی 8
2-2-1 نمودارهای کنترل 8
2-2-2 انحرافات در نمودارهای کنترل 9
2-2-3 مقایسه نمودارهای کنترل 10
2-2-4 فاز 1و2 در نمودارهای کنترل 11
2-3 الگوهای خطی تعمیم یافته 12
2-4 پروفايل چیست؟ 15
2-4-1 انواع مختلف پروفايل ها 15
2-4-1-1 پروفایل خطی ساده 15
2-4-1-2 پروفایل خطی چندگانه 15
2-4-1-3 پروفایل های چندجمله ای 16
2-4-1-4 پروفایل غیر خطی 16
2-4-2 پروفايل پواسون 16
2-4-3 پروفايل لجستیک 18
2-5 نقطه تغییر 20
2-5-1 برآوردکننده اریب نقطه تغییر 20
2-5-2 اهداف و فواید تجزیه و تحلیل نقطه تغییر 21
2-5-3 انواع داده ها در بررسی نقطه تغییر 21
2-5-4 انواع تغییرات در بررسی نقطه تغییر 22
2-5-4-1 تغییر پله ای 22
2-5-4-2 تغییر پله ای چندگانه 24
2-5-4-3 تغییر با روند خطی 25
2-5-4-4 تغییر مونوتنیک 26
2-5-5 شناسایی نقطه تغییر در پایش پروفایل 28
2-5-5-1 رویکرد برآورد MLE 28
2-5-5-2 رویکرد برآورد CUSUM 29
2-5-5-3 رویکرد برآورد EWMA 30
2-5-6 تخمین نقطه تغییر در پروفایل های لجستیک و پواسون 32
2-6 جمع بندی 34
فصل سوم: روش پیشنهادی جهت کشف نقطه تغییر
3-1 مقدمه 36
3-2 تعریف مساله 36
3-3 روشهای پیشنهادی 37
3-3-1 تخمین نقطه تغییر پروفایل های پواسون با استفاده از برآورد MLE 37
3-3-2 توسعه مدل نقطه تغییر پروفایل های پواسون و ایجاد نمودار کنترل LRT 38
3-3-3 تخمین نقطه تغییر پروفایل های لجستیک با استفاده از براورد MLE 42
3-3-4 توسعه مدل نقطه تغییر پروفایل های لجستیک و ایجاد نمودار کنترلLRT 43
3-4 جمع بندی 45
فصل چهارم: شبیه سازی و تحلیل نتایج
4-1 مقدمه 47
4-2 معرفی داده های مثال عددی و بیان مساله 47
4-2-1 مثال منتخب جهت پایش پروفایل های پواسون 47
4-2-2 مثال منتخب جهت پایش پروفایل های لجستیک 48
4-3 روش LRT جهت پایش پروفایل های پواسون و لجستیک (مدل نقطه تغییر) 52
4-4 نتیجه گیری و مقایسه نتایج 61
فصل پنجم: جمع بندی و نتیجه گیری
5-1 مقدمه 63
5-2 جمع بندی و نتیجه گیری 63
5-3 پیشنهاد برای پژوهش های آتی 65
فهرست مراجع 66
واژه نامه فارسی به انگلیسی 71
واژه نامه انگلیسی به فارسی 74
فهرست جدول ها
-5133246609000عنوان صفحه
جدول2-1: مقایسه مسائل پایش پروفایل در فاز1 و فاز2 12
جدول2-2: تابع احتمال الگوهای خطی تعمیم یافته پرکاربرد در زمینه پایش پروفایل ها 14
جدول2-3: انواع مختلف الگوی لجستیک و پواسون و توابع پیوندی آن ها 14
جدول2-4: خلاصه تحقیقات انجام شده در تخمین نقطه تغییر در زمینه پایش پروفایل ها 31
جدول2-5: انواع مختلف تغییرات فرآیند و رویکردهای برآورد نقطه تغییر 31
جدول2-6: تحقیقات انجام شده در زمینه تخمین نقطه تغییر پروفایل پواسون 33
جدول2-7: تحقیقات انجام شده در زمینه تخمین نقطه تغییر پروفایل لجستیک 33
جدول4-1: نتایج شبیه سازی پروفایل پواسون با روش MLE 54
جدول4-2: نتایج شبیه سازی پروفایل پواسون با روش LRT پیشنهادی 55
جدول4-3: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل پواسون با روش MLE با شبیه سازی 55
جدول4-4: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل پواسون با روش LRT پیشنهادی با شبیه سازی 55
جدول4-5: نتایج شبیه سازی پروفایل لجستیک با روش MLEبا درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+απi0 56
جدول4-6: نتایج شبیه سازی پروفایل لجستیک با روش LRT با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+απi0 56
جدول4-7: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش MLE با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+απi0 56
جدول4-8: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش LRT پیشنهادی با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+απi0 57
جدول4-9: نتایج شبیه سازی پروفایل لجستیک با روش MLE با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+δ 57
جدول4-10: نتایج شبیه سازی پروفایل لجستیک با روش LRT با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+δ 57
جدول4-11: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش MLE با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+δ 57
جدول4-12: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش LRT پیشنهادی با درنظر گرفتن شیفت πi1=πi0+δ 58
جدول4-13: نتایج شبیه سازی پروفایل لجستیک با روش MLE 58
جدول4-14: نتایج شبیه سازی پروفایل لجستیک با روش LRT پیشنهادی 58
جدول4-15: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش MLE 59
جدول4-16: دقت عملکرد تخمین زننده نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش LRT پیشنهادی 59
فهرست شکل ها
right46609000عنوان صفحه
شکل2-1: بهبود فرایند با استفاده از نمودار کنترل 9
شکل2-2: تاثیرات انحرافات بادلیل و انحرافات تصادفی 10
شکل2-3: روند تخمین پارامترهای رگرسیون پواسون شرفی وهمکاران 18
شکل2-4: تغییر پله ای 23
شکل2-5: تغییر پله ای در نمودار کنترل شوهارت 23
شکل2-6: تغییر پله ای چندگانه 24
شکل2-7: تغییر پله ای چندگانه در نمودار کنترل شوهارت 24
شکل2-8: تغییر با روند خطی 25
شکل2-9: تغییر با روند خطی در نمودار کنترل شوهارت 25
شکل2-10: تغییر ایزوتونیک 27
شکل2-11: تغییر ایزوتونیک در نمودار کنترل شوهارت 27
شکل2-12: برآوردکننده ذاتی نمودار CUSUM 29
شکل2-13: برآوردکننده ذاتی نمودار EWMA 30
شکل4-1: فلوچارت تولید داده های شبیه سازی پروفایل پواسون و لجستیک 51
شکل4-2: فلوچارت شببیه سازی امید ریاضی و انحراف معیار آماره های LR 53
شکل4-3: فلوچارت روش پیشنهادی LRT 60
فهرست علايم و نشانه ها
right46609000عنوان علامت اختصاری
MLE Maximum likelihood estimation
LSE Least Square Error
GLM Generalized linear model
CUSUM Cumulative sum
EWMA Exponentially weighted moving average
ARL Average run length
LRT Likelihood ratio test
فصل اول
مقدمه و کلیات موضوع
1-1 مقدمه
کنترل فرآیند آماری به عنوان شاخه ای از کنترل کیفیت آماری، مجموعه ای از ابزار است که برای کنترل و کاهش پراکندگی و در نتیجه بهبود کیفیت فرآیندها استفاده می شود. به عبارت دیگر هر روش آماری که برای کشف تغییرات فرآیند در طول زمان طراحی می شود در حوزه تحت پوشش کنترل فرآیند آماری قرار می گیرد (وودال و مونتگمری ،1999). از ابزار اصلی کنترل فرآیند آماری که به منظور بهبود کیفیت به کار گرفته می شوند می توان به هیستوگرام، برگه کنترل، نمودار پارتو، نمودار علت و معلول، نمودار پراکندگی، نمودار تمرکز نقص ها و نمودار کنترل اشاره نمود. از نظر مونتگومری (2005) در میان هفت ابزار فوق که غالباً ابزارهای هفتگانه عالی نامیده می شوند، نمودار کنترل مهمترین و قدرتمندترین ابزار کنترل فرآیند آماری می باشد. نمودار کنترل جهت کنترل میزان تغییرات در یک یا چند مشخصه کیفی مورد استفاده واقع می شود. در تحقیقات پیشین و به طور کلی در اکثر کاربردهای مرسوم کنترل فرآیند آماری، فرض بر این بوده است که کیفیت محصول یا عملکرد فرآیند می تواند به وسیله ی توزیع یک یا چند مشخصه کیفی توصیف شده و به وسیله نمودارهای کنترل تک متغیره یا چند متغیره کنترل شود. در دهه ی گذشته محققانی همچون کنگ و آلباین (2000) و وودال و همکاران (2004) حوزه ی جدیدی را در علم کنترل فرآیند آماری معرفی نموده و عنوان می کنند که در بسیاری از واحدهای صنعتی و خدماتی، کیفیت محصول یا عملکرد فرآیند به وسیله رابطه بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل، بهتر توصیف می شود. آنها این رابطه را پروفایل می نامند. در بسیاری از کاربردها همچون کالیبراسیون این رابطه به وسیله ی یک مدل رگرسیون خطی توصیف می شود در حالی که در کاربردهای دیگر مانند اندازه گیری های مختلف از یک متغیر یکسان مثل ضخامت در مکان های مختلف یک قطعه، مدل های پیچیده تری همچون مدل های رگرسیون غیرخطی مورد نیاز است. طی سال های اخیر پایش پروفایل برای مشخصه های کیفی وصفی مانند برنولی، پواسون و چندجمله ای با استفاده از مدل های خطی تعمیم یافته مورد توجه محققین قرار گرفته است. پروفایل های خطی تعمیم یافته پروفایل هایی هستند که با استفاده از تابع تبدیل مشخص به پروفایل خطی تبدیل می شوند. روش های مختلفی برای مدل سازی و پایش این گونه از پروفایل ها توسعه داده شده است. تحقیق در این حوزه از یک سو منطبق با جهت گیری علمی محققان در زمینه ی کنترل کیفیت آماری و از سوی دیگر تلاش برای پاسخ به نیاز واحدهای صنعتی یا خدماتی است که به گونه ای نیاز به مدل سازی مشخصه های کیفی به صورت پروفایل های خطی تعمیم یافته دارند.
1-2 تعریف مساله
در بسیاری از شرایط کیفیت فرآیند یا محصول به کمک رابطه ی بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل بهتر توصیف می شود لذا در هر مرحله ی نمونه گیری مجموعه ای از داده ها گردآوری می شود که می توان رابطه ی آن ها را به کمک تابعی تحت عنوان پروفایل نشان داد. پروفایل ها بر اساس نوع رابطه بین متغیر پاسخ و متغیرهای مستقل به انواع مختلفی تقسیم می شوند.
بررسی های صورت گرفته در ادبیات موضوع نشان می دهد که پایش پروفایل های خطی به علت سادگی محاسبات بخش قابل توجهی از تحقیقات صورت گرفته در حوزه پایش پروفایل ها را به خود اختصاص داده است. پروفایل های خطی تعمیم یافته پروفایل هایی هستند که با استفاده از تابع تبدیل مشخص به پروفایل خطی تبدیل می شوند. پروفایل های خطی تعمیم یافته گسسته شامل پروفایل های لجستیک (باینری) و پواسون می باشند. پایش این پروفایل ها به دلایلی چون کاربرد فراوان آن در صنعت و جدید بودن حوزه ی کاری به عنوان یک موضوع حایز اهمیت در زمینه پایش پروفایل ها مطرح می باشند. معمولا به منظور پایش این گونه از پروفایل ها، نمودارهای کنترل چندمتغیره تکی مورد استفاده قرار می گیرد. از سوی دیگر، با توجه به این که زمان کشف تغییر توسط نمودارهای کنترل لزوما منطبق با زمان واقعی تغییر نیست استفاده از رویکردهای شناسایی نقطه ی تغییر که زمان واقعی تغییر را معلوم می کند، می تواند در کشف سریع تر و ساده تر انحرافات با دلیل موثر واقع شود.
در این پایان نامه به منظور پایش پروفایل های لجستیک و پواسون در فاز 2 پس از توسعه مدل نقطه تغییر بر اساس تابع درستنمایی، نموداری مبتنی بر آماره ی درستنمایی استاندارد شده ارائه شده است. در این روش علاوه بر امکان تشخیص وضعیت خارج از کنترل، امکان برآورد نقطه تغییر نیز به صورت همزمان فراهم می شود.
1-3 ضرورت انجام تحقیق و کاربردهای آن
در این پایان نامه مباحث مربوط به پایش پروفایل های خطی تعمیم یافته گسسته بررسی شده است. این پایان نامه برای دانشجویان و محققانی که علاقه مند به تحقیق در زمینه کنترل فرآیند آماری به ویژه پایش پروفایل ها هستند، مرجع مناسبی است. همچنین موسسات پژوهشی که در زمینه کنترل کیفیت آماری به بررسی می پردازند نیز می توانند از آن بهره گیرند. از دیدگاه کاربردی، روش های ارائه شده در این پایان نامه می تواند در بخش های خدماتی و صنعتی که عملکرد فرآیند یا کیفیت محصول به وسیله یک رابطه باینری یا پواسون بین متغیر پاسخ و متغیرهای مستقل توصیف می شود، استفاده شود.
1-4 اهداف تحقیق
اهداف تحقیقاتی این پایان نامه در قالب موارد زیر مطرح می گردد:
1- توسعه روشی برای پایش پروفایل های پواسون و باینری با روش آزمون نسبت درستنمایی(LRT) در فاز 2
2- توسعه روشی برای تخمین نقطه تغییر در فاز 2
3- ارائه رابطه بازگشتی برای کوتاه تر کردن زمان پایش پروفایل های اضافه شده در فاز 2
4- مقایسه عملکرد تخمین نقطه تغییر با رویکرد LRT و تخمین نقطه تغییر با رویکرد MLE
1-5 مفروضات تحقیق
1- عملکرد فرایند یا کیفیت محصول به وسیله یک رابطه رگرسیونی بین متغیر پاسخ با توزیع باینری یا پواسون و یک متغیر مستقل X توصیف می شود. بعلاوه مقادیر متغیر پاسخ در طول زمان و همچنین به ازای سطوح مختلف متغیر X از یکدیگر مستقل هستند.
2- مقادیری که متغیر تصادفی X اختیار می کند مقادیر ثابت و معلوم هستند.
3- مطالعات پایش پروفایل ها در فاز2 نمودار کنترل صورت گرفته است.
4- تغییر اعمال شده از طریق ضرایب پروفایل بر میانگین متغیر پاسخ و از نوع پله ای منفرد است.
1-6 بیان روش انجام تحقیق
روش انجام تحقیق مطابق روش متداول در انجام یک کار تحقیقاتی در حوزه کنترل فرآیند آماری بوده و بر اساس مراحل زیر صورت گرفته است:
1- جمع آوری اطلاعات شامل جستجو در سایت های معتبر علمی، مطالعه ی مقالات و کتاب ها
2- بررسی مقالات و مطالعات صورت گرفته در زمینه پایش پروفایل ها و کشف نقطه تغییر
3- پیدا کردن شکاف تحقیقاتی
4- بیان مسئله مبنی بر شناسایی نقطه تغییر در پروفایل های چندجمله ای تعمیم یافته گسسته
5- پیشنهاد روش مناسب در خصوص بکارگیری رویکرد آزمون نسبت درستنمایی برای حل مسئله مذکور
6- ارزیابی عملکرد روش و مقایسه آن با رویکرد مرسوم در شناسایی نقطه تغییر (برآورد بیشترین درستنمایی) با استفاده از شبیه سازی
1-7 نوآوری های پایان نامه
نوآوری این پایان نامه عبارت است از توسعه نمودار کنترل LRT برای پایش پروفایل های پواسون و لجستیک در فاز 2 و تخمین نقطه تغییر با این رویکرد و مقایسه عملکرد این رویکرد با رویکرد مرسوم پایش ضرایب پروفایل با استفاده از نمودار کنترل T2 هتلینگ و تخمین نقطه تغییر با روش MLE. نوآوری دیگر این پایان نامه ارائه رابطه بازگشتی برای کوتاه تر کردن زمان پایش پروفایل های اضافه شده در فاز2 می باشد که زمان انجام محاسبات شبیه سازی را به مقدار قابل ملاحظه ای کاهش می دهد.
1-8 ساختار پایان نامه
فصل اول، به تعریف مساله و موضوعات اصلی تحقیق پرداخته و مواردی مانند مفروضات تحقیق، روش گردآوری اطلاعات و … در آن تبیین شده است. فصل دوم پس از اشاره ای به برخی مفاهیم استفاده شده در این پایان نامه به مرور ادبیات پایش پروفایل ها بالاخص روش های موجود در ادبیات موضوع برای پایش پروفایل های لجستیک و پواسون پرداخته است. در فصل سوم پس از بیان مساله ی اصلی پایان نامه، روش های پیشنهادی شامل پایش پروفایل های لجستیک و پواسون با رویکرد LRT در فاز 2 و ارائه رابطه بازگشتی برای سریعتر انجام شدن محاسبات شبیه سازی و تخمین نقطه تغییر در فاز 2 کنترل فرآیند آماری بررسی می شود. در فصل چهارم پس از ارایه ی مثال عددی، به کمک شبیه سازی کامپیوتری و با به کارگیری روش های پیشنهادی در فصل سوم به حل آن پرداخته شده و عملکرد روش هایLRT و MLE در تخمین نقطه تغییر مورد مقایسه قرار می گیرند. فصل پنجم به ارایه ی جمع بندی، نتیجه گیری و پیشنهاداتی برای مطالعات آتی می پردازد.
فصل دوم
بیان مفاهیم و مروری بر تحقیقات پیشین
2-1 مقدمه
یکی از موضوعات نسبتاً نوین در حوزه ی کنترل فرآیند آماری پایش پروفایل ها است. در این حوزه پایش پروفایل های خطی تعمیم یافته عموماً مساله ی چالش برانگیزی است. به منظور پایش این پروفایل ها روش های مختلفی توسط محققان مورد استفاده قرار گرفته است. در این فصل، ابتدا به مفاهیم مورد استفاده اشاره شده است. سپس به مرور ادبیات پایش پروفایل ها بالاخص روش های موجود برای پایش پروفایل های تعمیم یافته گسسته پرداخته می شود. همچنین نحوه ی برآورد نقطه تغییر در پایش این پروفایل ها توضیح داده می شود.
2-2 مفاهیم کلی
2-2-1 نمودارهای کنترل
کنترل فرآیند آماری یکی از روش های کنترل فرآیند حین تولید است که به منظور کاهش تغییرپذیری فرآیند از ابزار هفتگانه عالی بهره می گیرد. از مهمترین و پرکاربردترین این ابزارها، نمودار کنترل است. نمودار کنترل در سال 1924 توسط والتر شوهارت که در آن زمان در آزمایشگاههای تلفن بل مشغول به کار بود، ارائه شد و به منظور شناسایی سریع انحرافات بادلیل در فرآیند استفاده می شود. (مونتگومری، 2009)
تا زمانی که نقاط، بین حدود کنترل نمودارها قرار می گیرند، فرض می شود که فرآیند از نظر آماری تحت کنترل به سر می برد. همچنین حتی اگر تمامی نقاط در داخل حدود کنترل باشند نیز، امکان تشخیص روندهای غیرعادی و الگوهای غیرتصادفی در فرآیند توسط برخی قوانین حساسسازی وجود خواهد داشت. در صورت وجود چنین الگوهایی، فرآیند خارج از کنترل محسوب می شود. شیوه بهبود فرآیند توسط نمودارهای کنترل به صورت شکل 2-1 است.

شکل 2-1: بهبود فرایند با استفاده از نمودار کنترل (مونتگومری، 2009)
2-2-2 انحرافات در نمودارهای کنترل
هر مجموعه ای از داده ها علیرغم طراحی خوب و نگهداری مناسب، به طور ذاتی، شامل مقدار خاصی تغییر پذیری هستند. این تغییرپذیری در اثر انباشته شدن مجموعه زیادی از انحرافات کوچک به وجود می آیند. به عبارت دیگر پس از حذف انحرافات بزرگ فرآیند، مقدار خاصی از انحرافات در فرآیند باقی می ماند. به اینگونه انحرافات کوچک که حذف آنها از فرآیند، مد نظر مهندسان کیفیت نیست انحرافات تصادفی و به آن دسته از انحرافات بزرگتر که مایل به حذف آنها هستیم، انحرافات بادلیل گویند. فرآیندی که فقط در حضور انحرافات تصادفی عمل کند را فرآیند تحت کنترل آماری گویند و فرآیندی که در حضور انحرافات بادلیل عمل کند را فرآیند خارج از کنترل می نامند (مونتگومری، 2009).
پیزدک (2003) معتقد است که توزیع یک فرآیند را فقط در صورت وجود انحرافات تصادفی می توان پیش بینی کرد و اگر فرآیند در حضور انحرافات بادلیل عمل کند، پیش بینی رفتار آینده آن به سادگی امکان پذیر نخواهد بود. شکل 2-2 بیانگر این موضوع است.

شکل 2-2: تاثیرات انحرافات بادلیل و انحرافات تصادفی (پیزدک، 2003)
2-2-3 مقایسه نمودارهای کنترل
یک معیار متداول برای ارزیابی نمودارهای کنترل، متوسط طول دنباله است. مونتگومری (2003) ARL را به صورت متوسط تعداد نمونه هایی که گرفته می شوند تا اولین نمونه ، هشدار خارج از کنترل بودن فرآیند را بدهد، تعریف می کند. به بیان دیگر ARL بیانگر میزان سرعت نمودار کنترل در تشخیص انحرافات بادلیل است. متوسط طول دنباله تحت کنترل و خارج از کنترل یک نمودار شوهارت از رابطه 2-1 محاسبه می شود: (مونتگومری، 2009)
ARL=1α کنترل تحت حالت در1(1-β) کنترل از خارج حالت در معمولا برای مقایسه نمودارهای کنترل مقایسه ها در حالتی انجام می گیرد که نمودارها در حالت تحت کنترل رفتار یکسانی داشته باشند و سپس عملکرد آنها در حالت خارج از کنترل با یکدیگر مقایسه می شود.
2-2-4 فاز 1و2 در نمودارهای کنترل
قبل از مرور روشهای پایش پروفایل ها، به معرفی دو فاز 1و2 در نمودارهای کنترل و اهداف این دو فاز پرداخته می شود و سپس معیارهای مختلفی که در این دو فاز برای ارزیابی عملکرد نمودارهای کنترل استفاده می شود معرفی می گردد. پس از معرفی این دو فاز متوجه خواهیم شد که پایش پروفایل ها باید به تفکیک دو فاز مورد بررسی قرار گیرد.
در فاز 1 از گذشته، مجموعه ای از داده ها در دسترس است. اهداف فاز1، به دست آوردن اطلاعات در مورد پراکندگی فرایند در طول زمان، ارزیابی پایداری فرایند و برآورد پارامترهای مدل است. هدف از فاز 2، کشف سریع شیفت و روند در پارامترهای مدل بر اساس نمودار کنترل طراحی شده در فاز1 می باشد. به عبارتی دیگر، در این فاز پارامترهای مدل معلومند و هدف اصلی این فاز آزمون فرض برابری پارامترهای مدل با مقادیر برآورد شده از فاز 1 می باشد. روش های آماری مختلفی برای هریک از این دو فاز مناسب هستند و معیارهای آماری متفاوتی برای ارزیابی عملکرد نمودارهای کنترل در این دو فاز وجود دارد. در فاز 1 مقدار ثابتی را برای احتمال خطای نوع 1 در نظر گرفته و پس از محاسبه حدود کنترل، توان آزمون را با اعمال شیفت های مختلف در پارامترهای مختلف محاسبه و از آن برای مقایسه عملکرد آماری نمودارهای کنترل استفاده می کنند. عملکرد رويکردها و روشهاي پيشنهادي براي نمودارهاي کنترل فاز 1 بر حسب احتمال سيگنال ارزيابي مي شود. احتمال سيگنال در حقيقت به معناي احتمال قرار گرفتن يکي از مقادير آماره مربوط به نمونه ها، خارج از حدود کنترل است.
در فاز2 تاکید روی کشف سریع روندها و شیفتها می باشد و این موضوع معمولاً به وسیله پارامترهای توزیع طول دنباله اندازه گیری می شود. طول دنباله تعداد نمونه هایی است که گرفته می شود قبل از اینکه یک هشدار خارج از کنترل مشاهده شود. اغلب، متوسط طول دنباله برای مقایسه عملکرد نمودارهای کنترلی در فاز 2 استفاده می شود.
جدول 2-1: مقایسه مسائل پایش پروفایل در فاز1 و فاز2 (سلیمانیان ،1390)
فاز1 فاز2
داده نمونه ها به صورت داده های تاریخی داده های آنلاین
پارامترهای رگرسیون پارامترها ناشناخته و نیازمند تخمین فرض بر این است که پارامترها مشخص است و یا از داده های فاز 1 تخمین شده اند
اهداف تعیین پایداری فرایند
حذف نمونه های مرتبط با عوامل غیرتصادفی
تخمین مقادیر تحت کنترل پارامترهای فرایند تشخیص سریع تغییر در پارامترهای فرایند از حالت تحت کنترل
معیار جهت مقایسه روشها احتمال سیگنال (احتمال دستیابی به حداقل یک آماره خارج از کنترل) ARL(تعداد نمونه هایی که گرفته می شود قبل از اینکه یک هشدار خارج از کنترل مشاهده شود)
عملکرد نمودار کنترل در شرایط خارج از کنترل هرچه احتمال سیگنال بیشتر، عملکرد نمودار کنترل بهتر هرچه ARL کمتر، عملکرد نمودار کنترل بهتر
2-3 الگوهای خطی تعمیم یافته
واضح است که وقتی با الگوهای رگرسیون خطی و غیرخطی سر و کار داریم توزیع نرمال نقش محوری را ایفا می کند. در حقیقت در روش های استنباطی مربوط به الگوهای رگرسیون خطی و غیرخطی فرض بر این است که متغیر پاسخ y از توزیع نرمال تبعیت می کند. الگوهای به شکل Y=????????+???? را الگوهای خطی می نامند که ???? متغیرهای توضیحی،???? بردار پارامترهای مدل، ????خطای تصادفی و Y متغیر پاسخ دارای توزیع نرمال است. مایرز و همکاران(2002) بیان کردند که وضعیت های عملی زیادی وجود دارند که این فرض حتی به طور تقریبی برقرار نیست برای مثال فرض کنید متغیر پاسخ یک متغیر گسسته نظیر یک شمارش است. ما اغلب با شمارش عیب ها یا پیشامدهای نادری چون آسیب های بیمارانی با امراض خاص و حتی با وقوع پدیده های طبیعی از قبیل زمین لرزه ها و طوفان های وابسته به آن مواجه می شویم. امکان دیگر یک متغیر پاسخ دوتایی است. مطالعاتی که در آن متغیر پاسخ موفقیت یا شکست یعنی صفر یا یک است تقریبا در تمامی زمینه های علوم و مهندسی نسبتا متداول است. وضعیت های زیادی نیز وجود دارد که متغیر پاسخ پیوسته است، لیکن فرض نرمال بودن کاملا غیر واقعی است.
الگوی خطی تعمیم یافته یا GLM برای برازش الگوهای رگرسیون به داده های پاسخ یک متغیری توسعه داده شده اند که از توزیع بسیار جامعی که خانواده نمایی نامیده می شود تبعیت می کند. خانواده نمایی توزیع های نرمال، دوجمله ای، پواسن، هندسی، دوجمله ای منفی، نمایی، گاما و نرمال وارون را شامل می شود. یکی از پیشرفت ها شناخت اشتراک بسیاری از خواص توزیع نرمال با خانواده توزیع های نمایی است. با توجه به این اشتراک الگوی خطی تعمیم یافته دارای سه جزء است:
متغیرهای پاسخY1,Y1,…,YN  که فرض می شود در یک توزیع از خانواده نمایی مشترک باشند.
یک مجموعه از پارامترهای β و متغیرهای توضیحی X
(2-2) β=(β0,β1,…,βp)T , X=(x1,x2,…,xN)
یک تابع پیوندی یکنواخت g بطوری که
(2-3)gμi=xiTβ μi=EYi   
یک متغیر تصادفی Y را در نظر بگیرید که تابع احتمال آن بستگی به پارامتر ???? دارد و شکل آن به صورت زیر است:
(2-4) fy;θ=sytθeaybθمعادله بالا را می توان به صورت زیر نوشت:
(2-5) fy;θ=exp⁡[aybθ+cy+dy]اگر a(y)=y باشد معادله بالا به شکل متعارف گفته می شود و bθ را پارامتر طبیعی توزیع می نامند. جدول زیر تابع احتمال الگوهای خطی تعمیم یافته پرکاربرد در زمینه پایش پروفایل ها را نشان می دهد.
جدول2-2: تابع احتمال الگوهای خطی تعمیم یافته پرکاربرد در زمینه پایش پروفایل ها (مایرز و همکاران، 2002)
توزیع پواسون fy;λ=exp[y logλ-λ-log y!]توزیع نرمال fy;μ=exp[-y22σ2+yμσ2-μ22σ2-12log(2πσ2)]
توزیع دو جمله ای fy;π=exp[y logπ-y log1-π+n log1-π+logny] جدول زیر انواع مختلف الگوی لجستیک و پواسون و توابع پیوندی آن ها را نشان می دهد.
جدول 2-3: انواع مختلف الگوی لجستیک و پواسون و توابع پیوندی آن ها (مایرز و همکاران، 2002)
رگرسیون الگو ???? تابع پیوندی
لجستیک الگوی پرابیت 1σ2π-∞xexp-12s-μσ2ds=????(x-μσ) ϕ-1π=β1+β2xلجستیک الگوی لجیت exp⁡(β1+β2x)1+exp⁡(β1+β2x)logπ1-π=β1+β2x=xiTβلجستیک لگ لگ متمم 1-exp[-exp(β1+β2x)]log-log1-π=β1+β2xپواسون الگوی لجیت exp[y logλ-λ-log y!]logπ=β1+β2x=xiTβ2-4 پروفايل چیست؟
در بسياري از مسائل كنترل فرآيند آماری، كيفيت فرآيند يا عملكرد محصول مي‏تواند به وسيله توزيع يك مشخصه كيفي توصيف شود و بوسيله نمودارهاي كنترل تك متغيره كنترل گردد و يا در حالت كلي به وسيله توزيع چندين مشخصه كيفي توصيف و به وسيله نمودارهاي كنترل چند متغيره كنترل شود. گاهي كيفيت محصول يا عملكرد فرآيند به وسيله رابطه بين يك متغير پاسخ و يك يا چند متغير مستقل توصيف مي‏شود كه محققان اين رابطه را پروفايل مي‏نامند. در بسياري از كاربردها همچون كاليبراسيون اين رابطه بوسيله يك پروفايل خطي توصيف مي‏شود در حالي كه در موقعيت هاي ديگر مدل هاي پيچيده‏تري نياز است. لذا توسعه روش هايي براي پايش پروفايل‏ ها كه كيفيت محصول يا عملكرد فرآيند را توصيف مي‏كنند لازم و ضروري است.
2-4-1 انواع مختلف پروفايل ها
2-4-1-1 پروفایل خطی ساده
در این پروفایل یک رابطه خطی ساده بین متغیر پاسخ و یک متغیر مستقل وجود دارد و این رابطه عملکرد فرایند و کیفیت محصول را نشان می دهد. به دلیل اینکه این رابطه خطی یک رابطه رگرسیونی می باشد مقادیر متغیر مستقل مقادیری ثابت هستند.
(2-6) Yij=A0j+A1jXij+εij , i=1,2,…,nj , j=1,2,…,m2-4-1-2 پروفایل خطی چندگانه
در این پروفایل، یک رابطه خطی چندگانه بین متغیر پاسخ و چند متغیر مستقل وجود دارد. در این پروفایل ها نیز همانند پروفایل های خطی ساده، مقادیر متغیرهای مستقل، مقادیری ثابت هستند. این رابطه به صورت زیر است.
(2-7) Yij=A0j+A1jX1ij+A2jX2ij+…+ApjXpij+εij 2-4-1-3 پروفایل های چندجمله ای
در این پروفایل، یک رابطه چند جمله ای بین متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل وجود دارد. بالاترین توان متغیر مستقل در این رابطه، رتبه چندجمله ای را تعیین می کند. به عنوان مثال، رابطه زیر یک رابطه چند جمله ای با رتبه 2 و یک متغیر مستقل و رابطه بعدی یک رابطه چندجمله ای با رتبه 2 و دو متغیر مستقل است.
(2-8) Yij=A0j+A1jX1ij+A2jX2ij2+εij(2-9) Yij=A0j+A1jX1ij+A2jX2ij+A11jX1ij2+A22jX2ij2+A12jX12j+εij2-4-1-4 پروفایل غیر خطی
در این پروفایل، یک رابطه غیر خطی بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل وجود دارد. منظور از رابطه غیر خطی در رگرسیون این است که اگر نسبت به پارامترها مشتق گرفته شود بازهم پارامتر در رابطه باقی بماند. در مدل رگرسیون غیر خطی نیز، مقادیر متغیرهای مستقل مقادیری ثابت هستند. رابطه کلی مدل رگرسیون غیر خطی ساده در زیر نشان داده شده است.
(2-10) Yij=fXij,Ai+εij2-4-2 پروفايل پواسون
در کنترل فرآیند آماری، توزیع پواسون مطابق رسوم به منظور مدل کردن تعداد نقص در یک واحد بازرسی مشخص بکار می رود. این تحقیق به بررسی شرایطی می پردازد که ارزش انتظاری متغیر پاسخ از طریق مدل رگرسیون پواسون با مجموعه ای از متغیرهای مستقل قابل توضیح است. مدل رگرسیون پواسون زیرمجموعه ای از مدل های خطی تعمیم یافته است. مایرز و همکاران(2002) مدل رگرسیون پواسون را به صورت زیر بیان کردند:
(2-11)
به طوریکهβ=(β0,β1,…,βp)T بردار ضرایب مدل را نشان می دهد و Yi~Pηi  i=1,2,…,n می باشد. رابطه بالا به صورت زیر قابل بازنویسی است:
(2-12)
آلبرت و اندرسون (1984) برای تخمین بردار پارامترهای مدل پواسون ابتدا تابع احتمال را به صورت زیر محاسبه می کنند:
(2-13)
(2-14)
با گرفتن لگاریتم از معادله بالا و استفاده از رابطه (2-12) به رابطه زیر می رسیم:
(2-15)
کولاگ و نلدر(1989) بیان کردند که با مشتق گرفتن از رابطه بالا نسبت به و استفاده از روش حداقل مربعات وزنی تکرار شونده پارامترهای رگرسیون پواسون به صورت زیر تخمین زده می شوند:
(2-16)
به طوریکه ماتریس و W=diag[λ1,λ2,…,λn] ماتریس قطری است و می باشد. روند تکرار مطابق شکل زیر می باشد.

شکل2-3: روند تخمین پارامترهای رگرسیون پواسون (شرفی وهمکاران،2013)
کولاگ و نلدر (1989) ثابت کردند هنگامی که n بزرگ است، دارای توزیع نرمال p بعدی به صورت است.
(2-17)
2-4-3 پروفايل لجستیک
مایرز و همکاران(2002) مدل رگرسیون لجستیک را به صورت زیر بیان کردند:
(2-18)
به طوریکهβ=(β0,β1,…,βp)T بردار ضرایب مدل را نشان می دهد. در رابطه بالا می باشد. یه و همکاران (2008) برای تخمین بردار پارامترهای مدل لجستیک فرض کردند که برای i مین وضعیت متغیر پیش بینی mi مشاهده وجود داشته باشد و zij راj مین مشاهده در i مین متغیر پیش بینی تعریف کردند پس yi=j=1mizij~bmi,πi, i=1,2,…,n است. آن ها تابع احتمال را به صورت زیر محاسبه می کنند:
(2-19)
(2-20)
با گرفتن لگاریتم از معادله بالا و استفاده از رابطه (2-18) به رابطه زیر می رسیم:
(2-21)
یه و همکاران (2008) بیان کردند که با مشتق گرفتن از رابطه بالا نسبت به و استفاده از روش حداقل مربعات وزنی تکرار شونده پارامترهای رگرسیون لجستیک به صورت زیر تخمین زده می شوند:
(2-22)
به طوریکه ماتریس و W=diag[λ1,λ2,…,λn] ماتریس قطری است و می باشد. کولاگ و نلدر (1989) ثابت کردند هنگامی که n بزرگ است، دارای توزیع نرمال p بعدی به صورت است.
(2-23)
2-5 نقطه تغییر
نمودارهای کنترل معمولا توانایی کشف حالت خارج از کنترلرا در زمان واقعی خود ندارند و تغییرات مدتی پس از زمان واقعی کشف می شوند؛ در نتیجه زمانی که یک نمودار کنترل، شرایط خارج از کنترل را نشان می دهد، رویه هایی به منظور ریشه یابی و حذف انحرافات بادلیل فرآیند شروع می شود. به زمان واقعی که این انحرافات بادلیل در فرآیند اتفاق می افتد، نقطه تغییر می گویند که همان زمان واقعی تغییر فرایند تحت کنترل، به حالت خارج از کنترل است. تشخیص نقطه تغییر هر فرآیند، مرحله ای مهم در ریشه یابی و حذف انحرافات بادلیل آن فرآیند است؛ زیرا تشخیص نقطه تغییر کمک می کند که محدوده جستجو در خصوص علل بروز انحرافات محدودتر شود و تنها مجموعه عللی که به تغییرات اصلی در فرآیند منجر شده اند، مورد بررسی قرار گیرند. لذا دانستن زمان واقعی وقوع اختلال در فرآیند، صرفه جویی قابل توجهی از لحاظ زمان و هزینه در فرآیند تولید به دنبال خواهد داشت .
2-5-1 برآوردکننده اریب نقطه تغییر
زمانی که یک نمودار کنترل، هشدار خارج از کنترل می دهد، زمان واقعی که فرآیند تحت تأثیر انحرافات بادلیل قرار گرفته است را نشان نمی دهد؛ بلکه این هشدار فقط بیانگر وجود انحرافات بادلیل در فرآیند است. لذا هنگامی که یک نمودار کنترل، وجود انحراف بادلیل در فرآیند را هشدار می دهد، مهندسی فرآیند جستجو را برای شناسایی منبع انحراف آغاز می کند. امیری و الله یاری (2012) زمان واقعی که فرآیند تحت تأثیر انحرافات بادلیل قرار می گیرد و به طبع آن، تحت شرایط خارج از کنترل واقعی در می آید را «نقطه تغییر» می نامند. در نمودارهای کنترلی که نسبت به تغییر حساستر هستند، زمان هشدار به نقطه تغییر نزدیکتر و در آنهایی که از حساسیت کمتری برخوردارند، فاصله زمان هشدار از نقطه تغییر بیشتر است. بنا بر گفته ساموئل و همکاران (a1998) از آنجا که زمان هشدار نمودارهای کنترل با نقطه تغییر واقعی فرایند فاصله زیادی دارد، می توان زمان هشدار نمودار کنترل را یک برآوردکننده اریب برای نقطه تغییر دانست.
2-5-2 اهداف و فواید تجزیه و تحلیل نقطه تغییر
مهمترین هدف انجام تجزیه و تحلیل نقطه تغییر، تعیین نوع تغییر در فرآیند ، تعداد تغییرات و همچنین تخمین زمان وقوع هر یک از آنهاست. از دیگر اهداف انجام این تحلیل محدود کردن فضای جستجو برای شناسایی زمان بروز انحرافات به وسیله تخمین فواصل اطمینان می باشد که برای مهندسان فرآیند این امکان را فراهم می کند تا با صرف زمان و هزینه کمتر به جستجوی علل ایجاد انحراف بپردازند. همچنین ضرورت انجام تجزیه و تحلیل نقطه تغییر را می توان در لزوم ایجاد راهکاری برای تشخیص هر چه سریعتر عوامل انحراف در فرآیند و برطرف نمودن آنها با هدف کاهش هزینه ها، افزایش کیفیت و بهبود بهره وری دانست.
2-5-3 انواع داده ها در بررسی نقطه تغییر
هر محصول دارای مشخصه هایی می باشد که کیفیت محصول را رقم میزند. به این مشخصه ها مشخصه های کیفی گویند. بسیاری از مشخصه های کیفی را می توان به صورت عددی بیان کرد؛ یعنی مقادیر پیوسته می گیرند؛ یا به عبارت دیگر مقادیری که آنها می پذیرند، شمارش پذیر نیستند. این مشخصه های کیفی را مشخصه های کیفی متغیر گویند.
از سوی دیگر بسیاری از مشخصه های کیفی را نمی توان به صورت عددی بیان کرد. یا به عبارت دیگر این مقادیر گسسته و شمارش پذیرند؛ یعنی بین آنها و مجموعه ای از اعداد طبیعی میتوان تناظر یک به یک برقرار کرد. مشخصه های کیفی که با چنین روشی تقسیم بندی می شوند را مشخصه های کیفی وصفی می نامند.
همچنین بسیاری از مسائل واقعی وجود دارند که در آنها کنترل چند مشخصه کیفی به طور همزمان مد نظر است. مونتگومری(2009) اینگونه فرآیندها را مسائل چندمتغیرهیا چندوصفیمی نامد و کنترل اینگونه مسائل را به مراتب دشوارتر از مسائل تک متغیره( تک وصفی) می داند. در نهایت چهارنوع مشخصه کیفی به منظور تفکیک بندی مسائل نقطه تغییر در نظر گرفته می شود که عبارتند از: مشخصه های کیفی وصفی، متغیر، چندوصفی و چندمتغیر. در این تحقیق، تمرکزمان بر روی مسائل تک متغیره (تک وصفی) خواهد بود.
2-5-4 انواع تغییرات در بررسی نقطه تغییر
2-5-4-1 تغییر پله ای
تغییر پله ای به نوعی از تغییر گویند که پارامتر فرآیند تحت کنترل، در نقطه نامعلومی از زمان، به میزان نامشخصی تغییر کرده و به حالت خارج از کنترل تغییر یابد. پارامتر در همین سطح جدید باقی می ماند تا زمانی که علل ایجاد انحراف شناسایی و حذف گردد. شکل تفهیمی این تغییر در شکل 2-4 و نمونه ای از این تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل 2-5 نشان داده شده است.

شکل 2-4: تغییر پله ای (آتشگر،2013)

شکل 2-5: تغییر پله ای در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری، 2012)
تغییر پله ای می تواند به طور مثال در زمان شکستن ناگهانی ابزار کار، تغییر در مواد اولیه و …اتفاق بیفتد.
2-5-4-2 تغییر پله ای چندگانه
در این نوع تغییر قبل از ارسال سیگنال توسط نمودار کنترل مبنی بر خارج از کنترل بودن فرآیند، سطح پارامتر در چند نقطه زمانی و در هر بار به میزان نامعلومی تغییر می کند. در اینجا لازم است که تعداد تغییرات رخ داده و نیز زمان هریک از آنها تخمین زده شود. شکل تفهیمی این تغییر در شکل 2-6 نشان داده شده است. همچنین نمونه ای از این نوع تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل 2-7 آمده است.

شکل 2-6: تغییر پله ای چندگانه (آتشگر،2013)

شکل 2-7: تغییر پله ای چندگانه در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری ،2012)
تغییر پله ای چندگانه می تواند به دلیل تغییر یک یا چند متغیر مؤثر فرآیند در زمان های مختلف اتفاق بیفتد.
2-5-4-3 تغییر با روند خطی
در واقعیت، پارامترهای یک فرآیند ممکن است به تدریج و تحت تأثیر شیبی نامشخص تغییر کنند. در اکثر مقالات این شیب را به صورت خطی در نظر گرفته اند و تغییرات پارامتر را همانند مدل نشان داده شده در شکل 1-6 فرض نموده اند. در تغییر پارامتر با روند خطی، پارامتر فرآیند در لحظه ای نامعین از زمان شروع به تغییر کرده و این تغییر مطابق با یک معادله خطی وابسته به زمان، تا اعلام هشدار توسط نمودار کنترل ادامه می یابد. در این حالت زمان و شیب خط تغییر نامعلوم بوده و باید با روش مناسبی تخمین زده شود. نمونه ای از این نوع تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل 2-8 آمده است.

شکل2-8: تغییر با روند خطی (آتشگر،2013)

شکل 2-9: تغییر با روند خطی در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری ،2012)
تغییر با روند می تواند به طور مثال در اثر فرسودگی تدریجی ابزار، خستگی اپراتور و … اتفاق بیفتد.
2-5-4-4 تغییر مونوتونیک
هر سه نوع تغییر بررسی شده در بخش های گذشته به گونه ای بودند که نوع آنها معین در نظر گرفته شده بود. یعنی از قبل می دانستیم که قرار است کدام نوع تغییر در فرآیند رخ دهد. در حالی که در واقعیت معمولا حتی نوع تغییر نیز برای ما شناخته شده نیست و باید بدون دانستن مدل تغییر، به برآورد نقطه تغییر بپردازیم. تغییرات مونوتونیک آن دسته از تغییرات هستند که نحوه تأثیر آنها بر پارامتر فرآیند از قبل برای ما معلوم نیست ولی راستای تأثیر آنها مشخص است. یعنی می دانیم که پارامتر فرآیند قرار است افزایش بیابد یا کاهش. در حقیقت یک تغییر مونوتونیک می تواند به صورت تغییر پله ای غیرنزولی (غیرصعودی)، تغییر پله ای چندگانه غیرنزولی(غیرصعودی)، تغییر با روند خطی یا غیرخطی غیرنزولی (غیرصعودی) و یا ترکیبی از این ها باشد. زمانی که پارامتر فرآیند به صورت غیرنزولی تغییر کند، به این نوع تغییر، تغییر ایزوتونیک گوییم. تغییرات ایزوتونیک می توانند بر اثر تغییرات چند متغیر مؤثر فرآیند، هر یک به اشکال مختلف و به شکل افزایشی ایجاد شوند. شکل تفهیمی این تغییر در شکل 2-10 نشان داده شده است. همچنین نمونه ای از این نوع تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل 2-11 آمده است.
نوع دیگری از تغییرات مونوتونیک حالتی است که پارامترهای فرآیند به صورت غیرصعودی تغییر کنند که به این نوع تغییر، تغییر آنتی تونیک گویند. تغییرات آنتی تونیک حالت متقابل تغییرات ایزوتونیک می باشند و می توانند بر اثر تغییرات چند متغیر مؤثر فرآیند، هر یک به اشکال مختلف و به شکل کاهشی ایجاد شوند.

شکل 2-10: تغییر ایزوتونیک(آتشگر،2013)

شکل 2-11: تغییر ایزوتونیک در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری ،2012)
بسیاری از مقالات معرفی شده در بخش های قبلی فرض را بر این قرار داده اند که نوع تغییرات از قبل شناخته شده است؛ در حالی که در واقعیت بسیار کم اتفاق می افتد که بتوان نوع تغییر را پیش از کشف، حدس زد. به همین دلیل به نظر می رسد که استفاده از نوع تغییرات مونوتونیک به واقعیت نزدیکتر باشد؛ هرچند که باز هم به دلیل تعیین راستای تعیین به صورت پیش فرض مقداری از واقعیت فاصله دارد.
2-5-5 شناسایی نقطه تغییر در پایش پروفایل
2-5-5-1 رویکرد برآورد MLE
در رویکرد MLE نقطه تغییر برابر با زمانی در نظر گرفته میشود که در آن زمان تابع درستنمایی حداکثر گردد. به عبارت دیگر
(2-24) τ=max⁡{L(t)|t=0,1,…,T-1}در رابطه بالا L(t) تابع درست نمایی شامل هر دو حالت تحت کنترل و خارج از کنترل مشاهدات است . همچنین t نمایانگر زمان های ممکن برای وجود نقطه تغییر،T زمان هشدار نمودار کنترل و τ برآورد نقطه تغییر است.
با توجه به نتایج حاصل از مقالات ارائه شده در حوزه نقطه تغییر، می توان این نتیجه را برداشت کرد که کاربرد روش MLE نسبت به سایر روشهای برآورد رایج تر است زیرا اولا با استفاده از روش حداکثر درستنمایی می توان بازه اطمینانی را برای نقطه تغییر تخمین زد؛ ثانیا این روش نسبت به میزان تغییر و مقدار هدف پارامتر مورد بررسی کاملا غیرحساس است؛ در حالی که برآوردهای حاصل از نمودارهای جمع تجمعی و میانگین متحرک موزون نمایی نسبت به میزان تغییر حساس می باشند. به طور مثال برآوردکننده های ذاتی نمودار CUSUM برای تخمین نقطه تغییر وقتی میزان تغییر به اندازه 2k باشد، برآوردهای خوبی ارائه می کنند ولی هر چه میزان تغییر از مقدار مذکور فاصله می گیرد دقت برآوردکننده های CUSUM نیز کاهش می یابد. همچنین معمولا برآوردکننده های EWMA در تغییرات کوچک عملکرد بهتری را از خود نشان می دهند و هر چه میزان تغییرات افزایش می یابد، این برآوردکننده ها صحت و دقت کمتری پیدا می کنند. (پیگناتیلو و ساموئل ،2001)
در اکثر مقالاتی که به موضوع نقطه تغییر پرداخته اند از روش MLE برای برآورد نقطه تغییر استفاده شده است و بیشتر مقالات برآوردکننده حاصل از این روش را در شرایط تغییرات پله ای، روندی یا مونوتونیک با برآوردکننده های CUSUM و EWMA مقایسه کرده اند.
2-5-5-2 رویکرد برآورد CUSUM
یکی دیگر از رویکردهای برآورد نقطه تغییر برآوردکننده های نمودارهای CUSUM و EWMA هستند. هرچند این نمودارها معمولا به منظور کشف تغییرات به کار می روند ولی نوعی برآورد کننده درونی نیز دارند که در برآورد نقاط تغییر بر اساس هشدارهای نمودار بسیار موثر است.
پیج (1954) برآوردکننده ذاتی نقطه تغییر را برای نمودار CUSUM معرفی کرد. وی آخرین مشاهده ای که قبل از اعلام هشدار توسط نمودار، مقدار صفر گرفته است را به عنوان برآوردکننده نقطه تغییر پیشنهاد نمود. بر این اساس اگر نمودار CUSUM هشدار افزایش در آماره را بدهد، max⁡{t:St+=0} به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار و اگر نمودار CUSUM هشدار کاهش در آماره را بدهد، max⁡{t:St-=0}به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار خواهد بود. شکل 2-12 بیانگر نحوه عملکرد این برآوردکننده است.

شکل 2-12: برآوردکننده ذاتی نمودار CUSUM (امیری و الله یاری ،2012)
2-5-5-3 رویکرد برآورد EWMA
نیشینا (1992) برآوردکننده ذاتی نقطه تغییر را برای نمودار EWMA معرفی کرد. وی آخرین مشاهده ای که قبل از اعلام هشدار توسط نمودار، مقداری در خلاف جهت تغییر و در سمت دیگر مقدار هدف گرفته است را به عنوان برآوردکننده نقطه تغییر پیشنهاد نمود. بر این اساس اگر نمودار EWMA هشدار افزایش در آماره را بدهد،max⁡{t:Zt≤X0} به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار و اگر نمودار EWMA هشدار کاهش در آماره را بدهد، max⁡{t:Zt≥X0} به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار خواهد بود که در این روابط X0مقدار هدف آماره مورد نظر خواهد بود. نحوه عملکرد برآوردکننده ذاتی EWMA در شکل 2-13 مشخص است.

شکل 2-13: برآوردکننده ذاتی نمودار EWMA (امیری و الله یاری ،2012)
جدول زیر خلاصه ای از تحقیقات انجام شده در تخمین نقطه تغییر در زمینه پایش پروفایل ها را نشان می دهد: (زند و همکاران، 2012)
جدول 2-4: خلاصه تحقیقات انجام شده در تخمین نقطه تغییر در زمینه پایش پروفایل ها (زند و همکاران، 2012)
رویکرد برآورد فاز نوع تغییر نوع پروفایل سال نویسنده
SLRT I پله ای خطی ساده 2006 زو و همکاران
LRT II پله ای خطی تعمیم یافته 2007 زو و همکاران
LRT I پله ای چندگانه خطی ساده 2007 محمود و همکاران
SLRT I پله ای چند جمله ای 2008 خادم زاده و همکاران
LRT II پله ای خطی چندمتغیره 2011 ایوزیان و همکاران
MLE II پله ای لجستیک 2012 شرفی و همکاران
LRT I پله ای لجستیک 2012 زند و همکاران
تغییراتی که در فرایند رخ می دهند و رویکردهای مختلفی که برای برآورد نقطه تغییر به کار می روند، در جدول زیر مشاهده می شوند (امیری و الله یاری 2011).
جدول 2-5: انواع مختلف تغییرات فرآیند و رویکردهای برآورد نقطه تغییر
انواع مختلف تغییراتی که در فرایند رخ می دهد رویکردهای برآورد نقطه تغییر
1- تغییر در یک نقطه (پله ای منفرد) 1- براورد حداکثر درست نمایی
2- تغییر در چند نقطه (پله ای چندگانه) 2- جمع تجمعی
3- تغییر تدریجی (همراه با روند) 3- میانگین متحرک موزون نمایی