— (194)

دانشکده علوم
پایان نامهی کارشناسی ارشد در رشتهی فیزیک- هسته ای
بررسی واپاشی دو بتایی
به کوشش
راضیه شریف زاده
استاد راهنما
دکتر زهره کارگر
137731538925500اسفند 1390
1348740635000

15011406286500
به نام خدا
اظهار نامه
اینجانب راضیه شریف زاده دانشجوی رشته فیزیک گرایش هستهای دانشکده علوم اظهار می کنم که این پایان نامه حاصل پژوهش خودم بوده و در جاهایی که از منابع دیگران استفاده کرده ام، نشانی دقیق و مشخصات کامل آن را نوشته ام. همچنین اظهار می کنم که تحقیق و موضوع پایان نامه ام تکراری نیست و تعهد می نمایم که بدون مجوز دانشگاه دستاوردهای آن را منتشر ننموده و یا در اختیار غیر قرار ندهم. کلیه حقوق این اثر مطابق با آیین نامه مالکیت فکری و معنوی متعلق به دانشگاه شیراز است.
نام و نام خانوادگی: راضیه شریف زاده
تاریخ و امضا: 22/12/1390
1653540139636500

173926561595000
تقدیم به:
همسرم که حضورش همواره باعث نشاط و دلگرمی من است، به او که بی همراهی صبورانه اش طی این مرحله امکان پذیر نبود؛ به مادرم که آفتاب بی دریغش را نثار لحظه لحظه زندگیم کرد؛ به پدرم که در کودکی دستم را گرفت و با استقامت خود به من آموخت که چگونه قدم های آینده را استوارتر بردارم؛به آنان که مهر نگاهشان امید بخش زندگیم است و من صمیمانه دوستشان دارم.
1805940196596000
سپاسگزاری
اکنون که با مدد خداوند متعال برگ دیگری از دفتر زندگیم رقم خورد، وظیفه خویش می دانم که از زحمات استاد گرامی سرکار خانم دکتر کارگر سپاسگزاری نمایم.
1958340278066500
چکیده
بررسی واپاشی دو بتایی
به کوشش
راضیه شریف زاده
واپاشی دو بتایی (ββ) فرایند ضعیفی است که بطور خود به خود دو نوترون در هسته به دو پروتون تبدیل می شوند. به منظور پایستگی بار باید دو الکترون ساتع شود. همچنین اگر عدد لپتونی پایسته باشد دو آنتی نوترینو نیز ساتع می شود. چنین فرایندی با پایستگی عدد لپتونی ( واپاشی2υββ ) در چندین هسته مشاهده شده است. اگر پایستگی عدد لپتونی نقص شود، برای مثال انتشار نوترینوهای مایورانا، نوع دیگری از واپاشی که هیچ نوترینویی ساتع نمی شود، واپاشی 0υββ، اتفاق می افتد، هر چند که این نوع واپاشی مشاهده نشده است. میزان واپاشی 0υββکه از طریق نوترینوهای مایورانا سبک انجام می شود وابسته به مقیاس جرمی مطلق نوترینو است.
در این کار، واپاشی تک بتایی و دو بتایی و برخی از خواص نوترینوها همچون جرم و نوسانات نوترینو را مورد مطالعه قرار داده ایم. مدهای مختلف واپاشی دو بتایی و همچنین عناصر ماتریس هسته ای مربوط به واپاشی ββ بررسی شده ونیمه عمر های ββ آزمایشی مطالعه شده اند. در آخر محاسبات عناصر ماتریس هسته ای واپاشی 0υββ و 2υββ مقایسه می گردند.
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول: مقدمه2
فصل دوم: واپاشی تک بتایی
2- 1 تاریخچه نوترینو5
2-1- 1 انواع واپاشی β5
2-1-2 مدل استاندارد نوترینو9
2-1-3 جرم نوترینو 10
2-1-4 پیشنهاد مایورانا11
2-1-5 بررسی اختلافات11
2-2 نوسانات نوترینویی12
2-2-1 نوترینوهای خورشیدی14
2-2-2 مسئله نوترینوی خورشیدی17
2-2-3 نوترینوهای اتمسفری19
2-3 شکل طیف بتا و نیمه عمر20
2-3-1فضای فاز فرایندهای دو سه جسمی20
2-3-2 شکل طیف بتا23
عنوان صفحه
2-3-3 نیمه عمر کل در واپاشی بتایی25
2-4 رده بندی در واپاشی بتایی27
2-4-1 برهم کنش ضعیف مدل غیر نسبیتی بدون اسپینی27
2-4-2 معرفی اسپین ذاتی30
2-4-3 گذارهای فرمی و گاموف-تلر30
2-4-4 فرآیند تسخیر الکترونی31
2-4-5 فرایند بتای معکوس32
فصل سوم: واپاشی دوبتایی
3-1 واپاشی دوبتایی35
3-1-1 مدهای واپاشی دوبتایی36
3-1-2 هسته های واجد شرایط واپاشی دوبتایی38
3-1-3 واپاشی های حالت برانگیخته39
3-2 میزان واپاشی دوبتایی دو نوترینویی41
3-3میزان واپاشی دوبتایی بدون نوترینویی43
3-4عناصر ماتریس هسته ای45
3-4-1 روش محاسبه NME46
3-5 جرم موثر مایورانا49
3-5-1 سلسله مراتب جرم های نوترینو51
3-5-2 سلسله مراتب معکوس جرم های نوترینو52
3-5-3 طیف جرمی نوترینوی شبه تبهگن53
عنوان صفحه
فصل چهارم: روشهای آزمایشی و چیدمان واپاشی دو بتایی
4-1 اندازه گیری های پیشین56
4-2 روش آزمایشی58
4-2-1 آشکا سازی اشعهγ 59
4-2-2 منبع واپاشی دو بتایی60
4-2-3 سپر غیر فعال60
4-2-4 سپر فعال61
4-2-5 تجهیزات تحقیقات زیر زمینی Kimbalton62
4-2-6 الکترونیک64
4-3 آزمایش NEMO-366
فصل پنجم: عناصر ماتریسی و نیمه عمرها
5-1 عناصر ماتریس هسته ای71
5-1-1 همبستگی کوتاه برد72
5-2 مقدارهای نیمه عمر واپاشی76
5-3 مقدارهای نیمه عمر واپاشی برای مدهای دیگر واپاشی دوبتایی بدون نوترینو82
5-4 بررسی رفتار متفاوت عناصر ماتریس 0υββ و 2υββ89
فصل ششم: نتایج95
فهرست منابع97
فهرست جدول ها
عنوان صفحه
جدول (2-1) خلاصه ای از جرم ذرات بنیادی در مدل استاندارد10
جدول (2-2) نسبت شارنوترینوی اندازه گیری شده به شار نوترینوی پیش بینی شده
توسط مدل استانداردخورشیدی15
جدول (2-3) ثابت های قدرت27
جدول(3-1)داوطلبان واپاشی38
جدول (4-1) ایزوتوپ های بررسی شده توسط NEMO-367
جدول (4-2) نیمه عمر واپاشی دوبتایی هسته های مختلف در آزمایش NEMO-369
جدول (5-1) مقدارهای NSM عناصر ماتریس هسته ای واپاشی 0υββ74
جدول (5-2) مقدارهای QRPA عناصر ماتریس هسته ای واپاشی 0υββ 75
جدول (5-3) مقدارهای NME محاسبه شده در چهارچوب QRPA
توسط گروه Jyvaskyl75
جدول (5-4) بهترین نتایج ارائه شده برای واپاشی 0υββ77
جدول (5-5) مقدارهای میانگین نیمه عمر واپاشی 2υββ77
جدول (5-6) بهترین محدوده های موجود گذار 2υββ به حالت برانگیخته 21+79
عنوان صفحه
جدول (5-7) بهترین نتایج و محدوده های موجود گذار 2υββ
به حالت برانگیخته 01+79
جدول (5-8) نتایج مثبت موجود واپاشی 2υββ هسته 100Mo به اولین حالت
برانگیخته 0+ هسته 100Ru.80
جدول (5-9) بهترین محدوده های موجود گذار 0υββ به حالت برانگیخته 21+80
جدول (5-10) بهترین محدوده های موجود گذار 0υββبه حالت برانگیخته 01+81
جدول (5-11) مهم ترین نتایج آزمایشی برای فرایند ECEC84
جدول (5-12) مهم ترین نتایج آزمایشی برای فرایند β+EC 84
جدول (5-13) مهم ترین نتایج آزمایشی برای فرایند 2β+ . Q85
جدول (5-14) بهترین محدوده های موجود گذار ECEC به حالت برانگیخته
برای ایزوتوپ های داوطلب با احتمال افزایش رزونانس86
جدول (5-15)M0υ و Mcl0υ برای برخی از هسته ها91
جدول (5-16) عناصر ماتریس 2υββ برای برخی از هسته ها92
جدول (1-6) جرم موثر مایورانا در سه طیف جرمی95
فهرست شکل ها
عنوان صفحه
شکل (2-1) مقایسه بسط فضای فاز کلاسیکی و مکانیک کوانتومی
برای حرکت ذره تک بعد21
شکل (2-2) توزیع های انرژی وتکانه الکترون در واپاشی بتا24
شکل (2-3) نمودار فرمی-کوری برای واپاشی 3H به 3He25
شکل(3-1) وابستگی جرم به عدد اتمی36
شکل (3-2) طرح واپاشی دوبتایی به حالت برانگیخته وتابش متعاقب آن40
شکل (3-3) نموداری برای واپاشی 2υββ در مکانیسمدو-نوکلئونی41
شکل (3-4) سطح انرژی های فرایند واپاشی دو بتایی از هسته ZAXN
به هسته Z+2AXN-2.41
شکل (3-5) نمودار واپاشی 2υββ در مکانیسم دو-نوکلئونی43
شکل (3-6) جرم موثر مایورانا برای طیف جرم معمولی و معکوس به عنوان
تابعی ازحداقل جرم نوترینو54
شکل (4-1) طرحی از سطح واپاشی دوبتایی 150Nd به حالت های برانگیخته 150Sm.57
شکل(4-2) آشکارسازهای HPGe و اجزاء وابسته به آنها62
شکل (4-3) چشم اندازی از چیدمان واپاشی دوبتایی از درب کانکس تریلر62
شکل (4-4) نمودا الکترونیک ها برای همرویدادی اولیه بین آشکارسازهای HPGe65
شکل (4-5) آشکارساز NEMO-366
عنوان صفحه
شکل (4-6) جمع طیف انرژی دو الکترون،توزیع زاویه ای دو الکترون
و طیف تک انرژی تک الکترون ها،‌ بعد از کاهش تابش زمینه از 100Mo.68
شکل (4-7) جمع طیف انرژی دو الکترون بعد از کاهش تابش زمینه از 82Se68
شکل (4-8) توزیع جمع انرژی دو الکترون برای 100Mo و 82Se69
شکل (5-1) عناصر ماتریس هسته ای2υββ برای هسته های داوطلب واپاشی71
شکل (5-2) عناصر ماتریس هسته ای 0υββ به روش های مختلف72
شکل (5-3) عناصر ماتریس هسته ای 0υββ با در نظر گرفتن
همیستگی کوتاه برد UCOM72
شکل (5-4) عناصر ماتریس هسته ای 0υββ با در نظر گرفتن
همیستگی کوتاه برد Jastrow73
شکل (5-5) وابستگی شعاعیM0υ در هسته 76Ge با در نظر گرفتن
همبستگی های کوتاه برد مختلف74
شکل (5-6) وابستگی شعاعی C(r)به r برای سه هسته87
شکل (5-7) وابستگی شعاعی C(r) به rبرای هستههایی با استفاده
از مدل پوسته ای88
شکل (5-8) وابستگی شعاعیM0υ با استفاده از gpp متفاوت88
شکل (5-9) سهم های چند قطبی های مختلف در 76Ge و Ccl2υ(r)کل89
شکل (5-10) مقایسه C0υ(r)و Ccl2υ(r).90
شکل (5-11) پتانسیل نوترینو…………………….91
شکل(5-12) عناصر ماتریس 0υββدر تقریبی به عنوان تابعی از انرژی
برانگیختگی میانگین92
شکل (5-13) MGT0υ هسته 82Se با 3/2 gpp=.93
.
فصل اول
131064022161500
مقدمه
واپاشی β محصول برهم کنش ضعیف یا نیروی هسته ای ضعیف است که در آن الکترون با استفاده از انرژی موجود در لحظه واپاشی از هسته خارج می شود. طیف پیوسته الکترون ها نشان دهنده تولید ذره دیگری در این واپاشی است که فرمی آن را نوترینو نامید. پایستگی بار الکتریکی ایجاب می کند که نوترینو خنثی باشد و ضمنا اسپین آن 12 است. از آنجا که برهم کنش نوترینو با ماده ضعیف است، وجود آن از طریق واپاشی بتای معکوس مشاهده شد. فرمی دریافت که اگر نوترینو جرم در حال سکون داشته باشد می تواند شکل طیف بتا و مکان نقطه نهایی در طیف را تغییر دهد. بهترین حد بالا که توسط Mainz در سال 2005 بدست آمده eV 2.3است. در فصل اول، مقدمه، به شرح کلی مطالب پرداخته شده است، مطالب مورد مطالعه در این موارد در فصل دوم آمده است.
روش دیگر در تعیین جرم نوترینو واپاشی دو بتایی بدون نوترینو یا محاسبات کیهان شناسی است که در آن به فرضیات تئوری زیادی نیاز است. واپاشی دو بتایی فرایند نادری است که درآن عدد اتمی Z دو واحد تغییر می کند در حالی که عدد جرمی A ثابت می ماند. به علت نیمه عمر طولانی از مرتبه 1020 تا 1023 سال آشکار سازی این واپاشی های نادر بسیار دشوار است، مدهای واپاشی دو بتایی 2υββ و 0υββ هستند. مشاهده واپاشی دو بتایی بدون نوترینو، 0υββ، بی درنگ بیانگر آن است که نوترینوها ذرات مایورانا هستند و مقیاس جرمی تعیین می شود. اما بدون محاسبه عناصر ماتریس هسته ای که میزان واپاشی را تعیین می کند در مورد جرم به طور کمی نمی توان به نتیجه ای رسید.
از نظر تئوری سعی بر آن است که از روش های بس ذره ای استفاده شود تا امکان چنین محاسباتی را میسر کند. برای اینکه محاسبات تئوری محک زده شوند از مشاهدات واپاشیβ- و β+ و واپاشی دو بتایی با دو نوترینو، 2υββ، جهت مقیاس بندی آنها استفاده می شود.جهت محاسبه عناصر ماتریسی، NME، از دو روش استفاده می شود: تقریب فضای فاز تصادفی QRPAو مدل پوسته ای هسته ای NSM. در QRPA کسر بزرگی از نوکلئون ها “فعال” در نظر گرفته شده و بنابر این نوکلئون ها در فضای تک ذره ای بزرگی حرکت دارند در حالی که در NSM کسر کوچکی از نوکلئون ها در فضای تک ذره ای کوچکی هستند و نوکلئون ها می توانند همبسته باشند. در فصل سوم واپاشی دو بتایی همراه با جزئیات مورد نیاز و روش های محاسبه عناصر ماتریسی ارائه شده است. فصل چهارم به بیان روش های آزمایشی بکار رفته جهت تعیین نیمه عمر واپاشی ها پرداخته شده است. نتایج حاصله در خصوص نیمه عمرهای اندازه گیری شده و نتایج محاسبات مختلف عناصر ماتریس هسته ای در فصل پنجم و نهایتا نتایج در فصل ششم بیان شده است.
فصل دوم
1463040129349500
واپاشی تک بتایی
2- 1 تاریخچه نوترینو
واپاشی β ، انتشار الکترون از هسته است. تصویر ساده ای از واپاشی تبدیل نوترون به پروتون همراه با تولید الکترون است. دردهه 1920 فیزیک دانان از مشاهده طیف پیوسته انرژی الکترون متعجب شدند. درسال 1931 پائولی[1] پیشنهاد کرد که انرژی مفقود شده باید توسط ذره دوم تولید شده دراین واپاشی حمل شود. به خاطر پایستگی بار این ذره باید خنثی باشد و علاوه بر این اسپین ذره باید 12 باشد. بعدا فرمی این ذره را نوترینو نامید.
2-1- 1انواع واپاشی βواپاشیβ- در هسته ها به فرم زیر است:
ZAXN→Z+1AXN-1ˊ+e-+υe (2-1)
در سال 1934، Joliot – Curieseواپاشیβ+ را مشاهده کردند:
ZAXN→Z-1AXN+1ˊ+e++υe (2-2)
مقدار Q برای واپاشی β- از رابطه زیر بدست می آید.
Qβ-=MA,Z-MA,Z+1-mec2 (2-3)
که این مقدار براساس جرم هسته ای است و براساس جرم اتمی:
Qβ-=mA,Z-mA,Z+1c2 (2-4)
و برای β+ براساس جرم اتمی داریم:
QB+=mA,Z-mA,Z-1-2mec2 (2-5)
گیراندازی الکترون هم به فرم زیر است:
ZAXN+e- → Z-1AX’N+1+υ (2-6)
برای محاسبهQ باید توجه کنیم که اتم Xˊ بلافاصله پس از تسخیر الکترونی در یک حالت برانگیخته اتمی قرار دارد. بنابراین جرم اتمی Xˊ بلافاصله پس از انجام فرایند به اندازه انرژی بستگی الکترون گیر افتاده پوسته n ام از جرم اتمی حالت پایه بیشتر است.
Qε=mA,Z-mA,Z-1c2-Bn.E (2-7)
گیراندازی الکترون از یک پوسته داخلی مانند K انجام می شود و بنابراین یک جای خالی الکترون در آن پوسته به وجود می آید. جای خالی با گذارهای نزولی الکترون پوسته های بالاتر به سرعت پر می شود، در نتیجه پرتوهایی مشخصه X گسیل می شوند. در این صورت انرژی کل یک یا چند پرتو گسیل شده با انرژی بستگی الکترون گیر اندازی شده برابر خواهند بود.
در واپاشیβ+ و گیراندازی الکترون هسته ZAXN به Z-1AX’N+1 تبدیل می شود. هسته هایی که برای آن واپاشیβ+ از نظر انرژی امکان پذیر است می توانند الکترون را هم گیر اندازی کنند ولی عکس آن امکان ندارد. برای واپاشیβ+ حداقل انرژیMeV022/12mec2=لازم است.
در واپاشی β+ انرژی υ دارای توزیع پیوسته ای از صفر تا Qβ+ است. اما در گیر اندازی الکترون حالت نهایی دو جسمی سبب می شود که مقدار انرژی پس زنی و Eυمنحصر به فرد باشد و با چشم پوشی از انرژی پس زنی، نوترینوی تک انرژی با انرژیQϵ گسیل می شود. اگر حالت هسته نهایی X’ یک حالت برانگیخته باشد مقدار Q با در نظر گرفتن انرژی برانگیختگی هسته کاهش می یابد.
فرمی تئوری واپاشی β را در سال 1934 ارائه کرد [1]. با استفاده از تئوری فرمی Bethe و Peierls نشان دادندکه نوترینو بایستی بر هم کنش بسیار کوچکی با مواد انجام دهد. تا دهه 1950 تنها شواهد مبهم آزمایشگاهی وجود داشت که موجودیت نوترینوها را تأیید می کرد. در سال 1951، Reins و Cown آزمایشی را پیشنهاد کردند که مستقیماً υeتوسط پروتون تسخیر می شود. نهایتا در سال 1956 مخزن بزرگی از آب را تهیه و واپاشی β معکوس را مشاهد کردند [2] :
υ+P→n+e+ (2-8)
تقریبا بلافاصله پوزیترون توسط الکترون اتمی نابود و دو اشعه γ با انرژی KeV511 تولید می شوند. در ms10 نوترون توسط هسته کادمیوم حل شده در آب تسخیر می شود، تعداد زیادی اشعه γ هم تولید می کند. با آشکارسازی گاماها توسط آشکارساز سوسوزن برهم کنش ذکر شده تائید گردید.
بدنبال این موفقیت، نوترینوی میونی(υμ) در سال 1962 توسط Lederman ، Schwarz و Steinberger در آزمایشگاه بین المللی Brookhaven کشف شد. آنها ازAlternating G–ient Synchrotron برای تولید بیم های پر انرژی پروتون ها، استفاده می کردند. این پروتون ها به هدف بریلیوم پرتاپ می شوند تا پایون ها و کائون ها تولید شوند. این ذرات واپاشی کرده و نوترینوها و ذرات باردار تولید می کنند. ذرات باردار در 12 متری از حفاظ فولادی جذب می شدند، در حالی که نوترینوها تا اتاقک جرقه زن ده تنی آشکار ساز ادامه می دهند که شامل صفحات آلومینیومی بود. هنوز نکته ناشناخته ای وجود داشت که آیا نوترینوی تولید شده از برهم کنش میوانی از نوترینوی تولید شده از برهم کنش الکترونی متفاوت است؟ در این آزمایش گمان می کردند که اگرنوترینوها متمایز باشند، آن نوترینوهای که از واپاشی پایون ها و کائون ها تولید شده اند باید با آلومینیوم برهم کنش کند و باریکه طولانی میونی تولید کند. نتایج آنها نشان داد که آنهایی که از میون ها تولید می شوند از آنهایی که از الکترونها تولید می شوند متمایز هستند. پس از آن عبارت نوترینوی الکترونی و نوترینوی میونی استفاده شد [2]. در سال 2000 اعلام شد که نوترینوτ توسط گروه DONUT در آزمایشگاه فرمی [3] بررسی شده است. DONUT سیستم آشکار سازی است که شامل سری از هدف های امولسیون است که بعد از آنها طیف سنج قرار دارد. بیم GeV800 از پروتون ها در شتابدهنده آزمایشگاه بین المللی Tevatrom Fermi تولید و به بلوکی از تنگستن برخورد می کند و مزون چارم Ds به وجود می آید که ترکیبی از کوراک Charm و کوارک Strang است. Ds به لپتون τ و υτواپاشی می کند. نیمه عمر لیتون τ ، s 1023×9.2 است.
لپتون τ با نسبت ٪58.17به υτ و e و υe واپاشی می کند و با نسبت ٪36.17 به υτ و μو υμ واپاشی می کند. در بقیه موارد از طریق هادرون ها و υτ واپاشی می کند.
υها در خورشید با تبدیل هیدروژن به دوتریوم ( که باعث می شود پروتون به نوترون تغییر کند) از طریق برهم کنش ضعیف به فرم زیر تولید می شوند:
p+p→12H+e++υe+0.42MeV (2-9)
پوزیترون تولید شده در این واکنش به همراه یک الکترون به سرعت نابود می گردد و MeV021. انرژی آزاد می سازد. دوتریم به 3He تبدیل می شود:
p+12H→23He+γ+5.49MeV (2-10)
که آن هم به 4He گداخته می شود:
23He+23He→24He+p+p+12.86MeV (2-11)
بنابراین نتیجه نهایی این واکنش ها که زنجیره PPI گفته می شود تبدیل هیدروژن به هلیوم به همراه آزادسازی MeV 7326. انرژی به ازای هر هسته هلیوم تشکیل شده است. نوترینوهای گسیل شده در واکنش PP هر کدام بطور متوسط MeV 260. انرژی با خود می برند. این انرژی در فضای لایتناهی گم می شود و در درخشندگی مشاهده شده خورشید سهمی ندارد.
برای مشاهده υهای خورشیدی که توسط Davis و Bahcall در دهه 1950 و دهه 1960 کوشش هایی انجام شد. اولین نتایج از آشکار ساز Homestake در 1968 منتشر شد. نتایج آنها از شار نوترینوی خورشید کاملاً با مقدار پیش بینی شدهبراساس مدل خورشیدی متفاوت بود. این اختلاف معروف به مسئله نوترینوی خورشیدی شد. نسل بعدی آشکار ساز نوترینوی خورشیدی که وابسته به تسخیر نوترینو توسط گالیوم بود، این اختلاف را تأیید می کرد. نوسانات نوترینویی که اولین بار توسط Pontecorvo در 1958 پیشنهاد شد تفسیرهایی را ارائه می کرد. به محض تأیید این اختلاف توسط Super-Kamiokande در 1998 نوترینو جرم دار دانسته شد.
2-1-2 مدل استاندارد نوترینو
درمدل استاندارد ذرات بنیادی اسپین 12 را به 6 کوارک و 6 لپتون دسته بندی می کند که کوارک ها و لپتون ها جزء اصلی تمام مواد هستند. لپتون ها شامل e، μ و τو نوترینوهای خنثی می باشند که نوترینوها در سه طعم e، μ و τ هستند. کوارکها کسری از بار را حمل می کنند. کوارکu، c وt بار+23e و d ، sو bبار-13e را حمل می کنند. مدل استاندارد همچنین بر همکنش بین ذرات را شرح می دهدکه به واسطه بوزن ها است. کوارک ها از طریق نیروهای قوی و با تبادل گلوآنها برهم کنش می کنند. برهم کنش الکترو مغناطیسی به واسطه تبادل فوتون ها است و برهم کنش ضعیف به واسطهW و Z است (W و Zبوزن هستند). واسط نیروی گرانشی گراویتون است. لپتون ها و کوارک ها در سه نسل بر اساس جرم هایشان قرار گرفته اند.
M1st=ude-υeM2nd=csμ-υμM3rd=tbτ-υτ (2-12)
توجه کنید که هرکدام شامل دوتا لپتون و دوتا کوارک است. نسل اول شامل سبکترین کوارک ها و لپتون بار دار و سبکترین نوترینو است. از جمله خصوصیات مدل استاندارد پایستگی عدد لپتونی و عدد باریونی است. مدل استاندارد شامل جرم نوترینوها نیست. برخی پیشگویی های مدل استاندارد شامل پایداری پروتون ها و ممنوعیت واپاشی دو بتایی بدون نوترینو است.
جدول (2-1) خلاصه ای از جرم ذرات بنیادی در مدل استاندارد
نسل سوم نسل دوم نسل اول
جرم ذره جرم ذره جرم ذره
171.2 GeV t 1.27 GeV c 2.4 MeV u
4.2 GeV b 104 MeV s 4.8 MeV d
1.777 GeV τ 105.7 MeV μ 0.511 MeV e
15.5 MeV> τυ 0.17 MeV> υμ 2.2 eV> υe
براساس جدول (2-1) ، یک اختلاف مقیاس جرمی فاحش بین اجزاء باردار و نوترینوی الکترونی در نسل اول وجود دارد که مکانیسم Seesaw یک توضیح ممکنه برای این اختلاف است[4].
2-1-3 جرم نوترینو
فرمی دریافت که اگر نوترینو جرم در حال سکون داشته باشد می تواند مکان نقطه نهایی در طیف واپاشی β و همچنین شکل طیف واپاشی β را تغییر دهد. اندازه گیری این تغییرات به علت آمار کم نزدیک به نقطه پایانی به شدت سخت است، به قسمت 2-3-2 مراجعه شود.
اولین اندازه گیری جرم نوترینو توسط Curran ،Angus و Cockroft بود که حدودKeV1Mυe< محاسبه شد. بهترین حد بالا eV 3.2بود که توسط Mainz در سال 2005 بدست آمده است[5]. اگر چه پیشرفت بزرگ و عظیم در این اندازه گیری بیشتر از 60 سال به طول انجامید، ولی به وسایل حساس بیشتری برای اندازه گیری جرم نوترینو نیاز است.
روش دیگری برای تعیین جرم نوترینو، واپاشی دو بتایی بدون نوترینو یا محاسبات کیهان شناسی است که به فرضیات تئوری زیادی نیاز دارد. واپاشی دو بتایی بدون نوترینو نیاز به عدم پایستگی عدد لپتونی و تخمین های کیهان شناسی بستگی به مدل بکار رفته دارد.
2-1-4 پیشنهاد مایورانا
نوترینو تنها فرمیون خنثی است. در مدل استاندارد، فرمیونهای باردار ذرات دیراک هستند که دارای پاد ذره متمایز می باشند و از آن جایی که تمام فرمیون ها در مدل استاندارد ذرات دیراک هستند، نوترینوها به عنوان ذرات دیراک رده بندی شدند. بنابراین، نوترینوی دست چپ و آنتی نوترینوی دست راست وجود دارند اما برهم کنش نمی کنند.
در سال 1937 توسط فیزیکدان ایتالیایی به نام مایورانا پیشنهاد شد که نوترینو پاد ذره خودش است. این تنها در صورتی امکان دارد که برای پایستگی CPT ذرات از نظر بار خنثی باشند. اگر نوترینو ذره مایورانا باشد عدد لپتونی دیگر کمیت پایسته ای نیست. زیرا در مدل استاندارد که نوترینو بدون جرم است تنها تفاوت آنتی نوترینوی راست گرد و نوترینوی چپ گرد عدد لپتونی اختصاص یافته به آنهاست.
2-1-5 بررسی اختلافات
فرض کنید که نوترینوی دست چپ υl دارای جرم باشد. اگر تغییر ناپذیری CPT فرض شود بنابراین باید تصویر CPT برای υl وجود داشته باشد که آنتی نوترینوی دست راست υr است. از آنجایی که υl جرم دار است پس با سرعت کمتر از نور حرکت می کند و دستگاه مقایسه ای که سریع تر از υl حرکت کند وجود دارد. از نظر این چارچوب، υl در جهت دیگر حرکت می کند در حالی که هنوز اسپین آن یکسان باقی مانده است. بنابراین، به نظر می رسد که در چارچوب تبدیل لورنتز نوترینوی دست راست (υr) شده است. υr نیز تصویری CPT خودش را دارد (υl). سوال این است که آیا υr همانند υr است؟اگر آنها متمایز باشند، آنگاه چهار حالت متمایز با جرم یکسان وجود دارد و به آنها نوترینوی دیراک می گویند و اگر تمایزی وجود نداشته باشد تنها دو حالت وجود دارد و به آنها نوترینوی مایورانا می گویند.
اگر چه نشان دادیم که نوترینوها ذرات جرم دار هستند، جالب است که توجه کنیم، تفاوت بین نوترینوهای دیراک و مایورانا از بین می رود اگر جرم به صفر نزدیک شود.یک روش دیگر برای تعییین طبیعت نوترینوی مایورانا یا دیراک غیر از واپاشی دوبتایی بدون نوترینو از طریق خواص الکترومغناطیسی است. اگر چه آنها از لحاظ بارالکتریکی خنثی هستند، نوترینوی دیراک تکانه دوقطبی الکتریکی و مغناطیسی غیر صفر دارد، در مقابل نوترینوی مایورانا تکانه دوقطبی الکتریکی و مغناطیسی ندارد. با این وجود بنظر می رسد که ساده ترین روش آزمایشی واپاشی دوبتایی بدون نوترینو باشد.
2-2 نوسانات نوترینویی
فرض کنیم سه نوع نوترینو اساسی (Basic Neutrino) وجود دارد که با|υ1> ، |υ2>و|υ3>مشخص می کنیم که به ترتیب جرم های معین m1 ،m2 و m3 را دارند. این حالت ها ویژه حالت عملگر جرم هستند و می توانند متعامد و بهنجار باشند. عملگر جرم روی درجه آزادی داخلی نوترینو عمل می کند و ویژه حالت جرم می تواند با ماتریس 1×3 نمایش داده شود. فرمول بندی تا حدی شبیه اسپین الکترون ذاتی است که حالت های اسپین بالا و پایین ویژه حالت های انرژی عملگر Sz است.
آمیختگی یعنی اینکه حالت نوترینوی الکترونی |υe> تولید شده در واپاشیβ، نوترینوی پایه نیست، لکن ترکیب خطی از سه ویژه مقدار جرم است. به همین ترتیبυμ و υτ ترکیب خطی از ویژه مقدارهای جرمی متعامد بر یکدیگر و بر υe است. برای سادگی ریاضی مدل دو مولفه ای را پیشنهاد می کنیم و در نظر می گیریم که |υe> به فرم زیر نمایش داده شود:
υe> = cosθυ1>+ sinθ|υ2> (2-13)
متعامد بر |υe> حالت زیر است:
|υx> = -sinθ|υ1>+ cosθ|υ2> (2-14)
υx می تواند υμ یا υτ باشد. θ همان زاویه آمیختگی است.
اگر υe در لحظهt=0 با تکانه p در حالت موج تخت eipzℏ به وجود آید، بنابراین در لحظه t حالت آن
υe=e-iE1tℏcosθυ1+ e-iE2tℏsinθυ2 (2-15)
خواهد بود که=p2c2+m12c4E1 و=p2c2+m22c4E2 است.
ما می توانیم معادلات (2-13) و (2-14) برای |υ1> و |υ2> بر حسب |υe> و |υx> حل کنیم:
υ1> = cosθυe>- sinθ|υx> (2-16)
|υ2> = sinθ|υe>+ cosθ|υx> (2-17)
ومعادله زیر بدست می آید:
|υe>t= e-iE1tℏ[(cos2θ+eiE1-E2tℏsin2θ)υe> – sinθcosθ1-eiE1-E2t (2-18)
اگر بعداز زمان t نوترینو آشکار شود براساس قانون های معمول مکانیک کوانتوم، احتمال این که نوترینو الکترونی باشد عبارت است از:
Pe(t)=|(cos2θeiE1-E2tℏsin2θ)|2=1-sin22θsin2E2- E1t2ℏ (2-19)
و احتمال این که υx باشد این است که:
Pxt=sin2θcos2θ|(1-eiE1-E2tℏ)|2=sin22θsin2E2- E1t2ℏ (2-20)
مگر آن که m1 = m2 باشد که بنابراین = E2E1 می شود بدیهی است که اگر آمیختگی موجود باشد1<Pe می شود.
در مورد نوترینوی تولید شده از واپاشی β یا از واکنش های گرما هسته ای در خورشید انرژی نوترینو برای تولید لپتون μ یا τ بسیار کوچک است بنابراین υx آشکار نمی شود. اگر آمیختگی نوترینوی وجود داشته باشد چیزی که دیده می شود کاهش در شار پیش بینی شده υe با ضریب Pe است.
توجه کنید که عدد لپتونی الکترونی دیگر پایسته نیست و به بیرون از مدل استاندارد در فیزیک ذرات منحرف شده ایم. برای تحلیل وتفسیر بیشتر Pe فرض می کنیم که نوترینوها فرانسبیتی باشند. بنابراین اولین ترم از بسط تیلور را در نظر می گیریم:
E2-E1=p2c2+m22c4-p2c2+m12c4≈(∆m2)c42pc (2-21)
که ∆m2=m22-m12 است.
بسته موج نوترینوی نسبیتی با سرعت c حرکت می کند، بنابراین در فاصله z از منبع
Pet=Pet=zc=1-sin22θsin2E2-E1z2ℏc (2-22)
که با استفاده از معادله (2-21) به شکل زیر در می آید:
Pez=1-sin22θsin2zπL (2-23)
در اینجا L طول نوسانی است
L=4πpc(ℏc)(∆m2)c4 (2-24)
که می توانیم بنویسیم
L=2.48pc1MeV1eV2∆m2c4m (2-25)
Pe برحسب z فرم سینوسی دارد به همین خاطر این پدیده نوسانات نوترینو نام دارد.
2-2-1 نوترینوهای خورشیدی
جدول (2-2) نتایج از 5 اندازه گیری مستقل از نسبت میزان آشکار سازی نوترینوی خورشیدی با میزان اندازه گیری شده مورد انتظار از مدل استاندارد خورشیدی و مدل استاندارد فیزیک ذرات را نشان می دهد. طبق مفهوم نوسانات خورشیدی، این نسبت می تواند به عنوان اندازه گیری Pe باشد. Pe کمتر از یک است. همچنین اندازه گیری ها به نوارهای انرژی های متفاوت نوترینو حساس هستند و Pe به نظر می آید که به انرژی وابسته است. نوارهای انرژی هنگامی بوجود می آیند که پوزیترون همراه با نوترینو تولید شود که در اینصورت انرژی بین این دو ذره تقسیم می شود.
جدول (2-2) نسبت شارنوترینوی اندازه گیری شده به شار نوترینوی پیش بینی شده توسط مدل استاندارد خورشیدی در 5 آزمایش مستقل.
تئوری/ نتایج نوع آشکار سازی آزمایش
0.33 ± 0.029 37Cl Homestake (USA)
0.54 ± 0.07 H2O Kamiokande (Japan)
0.60 ± 0.06 71Ga GALLEX (Italy)
0.52 ± 0.06 71Ga SAGE (Russia)
0.474 ±0.020 H2O Super Kamiokande (Japan)
آیا این نتایج با نوسانات نوترینو قابل توضیح است؟ با مدل نوترینوی دوتایی ( منظور ترکیب (2-10) است) اگر eV21(∆m2)c4~ باشد از معادله (2-25) می بینیم که طول نوسانی L خیلی کوچکتر از اندازه قلب گرما هسته ای خورشید که در آن نوترینوی خورشیدی تولید می شود، است ( برای نوترینوهای خورشیدیMeV 10pc≤ است).
اگرروی قلب میانگین بگیریم:
Pe=1-12sin22θ (2-26)
این مستقل از انرژی نوترینو است و ماکزیمم فرونشانی ممکنه Pe=12 است.بنابراین eV21(∆m2)c4~ با داده های آزمایشی متناقض بنظر می رسد.
مقیاس طولی دیگر متوسط فاصله زمین-خورشید که حدوداً m 1011×496.1 که برابر با یک واحد نجومی است. ما می توانیم معادله (2-23) را بازنویسی کنیم چنانچه:
pez=1-sin22θsin21.9z1AU1MeVPc∆m2c410-11eV2 (2-27)
وMeV10<pc≤0، AU1z= (تغییرات سالیانه و روزانه z نادیده گرفته شده است). مگر اینکه eV211-10(∆m2)c4~ باشد، محدوده مقدارهای تکانه نوترینو به میانگین جمله مربع سینوسی منجر می شود و دوباره ما فاکتور 12 را داریم. اما تجزیه و تحلیل جزئی تر پیشنهاد می کند که اگر eV211-10×5.6 (∆m2)c4~ و 75.0 sin22θ~باشد داده های آزمایشی با این مدل می تواند برازش شود.
مکانیسم دیگر برای توصیف کمبود نوترینو از برهم کنش نوترینو با ماده سرچشمه می گیرد. با عبور از مواد نوترینوها جرم موثری را بدست می آورند. نوترینوی الکترونی می تواند با الکترون در ماده با تبادل بوزن W مجازی برهم کنش کند. در انرژی های پایین، این عناصر ماتریسی بر هم کنش فرمی را می دهد که به عنوان جرم موثر به وجود آمده به فرم gfnec2 تفسیر می شود که ne عملگر چگالی تعداد برای الکترونها است. با احتساب اسپین در محاسبه، فاکتور 2 حاصل می شود. جرم موثر از برهم کنش فرمی توسط رابطه زیر داده می شود.
mυec2=2neGf=1.271Å3ne*10-13eV (2-28)
برهم کنش گاموف-تلر فقط در مواد فرومغناطیس شرکت می کند. این عبارت جرم موثر برای υe یکتا است زیرا ماده μیا τ ندارد.
اگر جرم ذاتی نوترینوها و نوترینوهای آمیختگی را فرض کنیم پدیده رزنانس جدیدی ظاهر می شود. در عبور از ماده با چگالی الکتریکی متغیر، چنانکه برای نوترینویی که در هسته خورشید رخ می دهد، تصحیحات ماده برای جرم υe موجب نوسانات نوترینویی بزرگی می شود حتی اگر زاویه آمیختگی خلاء خیلی کوچک باشد. هنگامی که نوترینو خورشید را ترک می کند نوسان متوقف می شود به دلیل اینکه نوسانات بعدی دامنه کوچکی دارند. اگر این تاثیرات برای کمبود نوترینو خورشیدی به حساب آید آنگاه
∆m2c4 ~ 10-5eV2sin22θ~10-2 (2-29)
2-2-2 مسئله نوترینوی خورشیدی
آزمایش های Davis در آشکارساز نوترینوی الکترونی در فرایند تسخیری37Cl+ υe→37Ar+ e-با استفاده از سیستم آشکارسازی نوترینوی کلر-آرگن 100000 گالونی در Homestake Gold Mine درجنوب Dakota ساخته شده در 1965 تا 1966 ، در 1967 شروع به گرفتن داده کرد. این داده ها شروع مسئله نوترینوی خورشیدی بود. در این واکنش تسخیری نیاز است نوترینوها حداقل انرژیMeV814.0 را داشته باشند. بنابراین این واکنش به نوترینوهای تولید شده در واکنش های با انرژی بالا حساس است. در دهه 1990 آزمایش دیگری روی 71Ga انجام گرفت که عنصر 71Ge تولید می شود. آزمایش هایی در روسیه و درایتالیا انجام گرفت که به نوترینوهای تولید شده در واکنش گداخت pp حساس بود که در اصل نوترینوی کم انرژی تولید می شوند. اما در اینجا نیز تنها تقریبا %50 از شار نوترینوی خورشیدی مورد انتظار ثبت می شوند.
برای حل این مسئله پیشنهاد شد که اگر جرم نوترینوها دقیقا صفر نباشد، شاید نوترینوها در طعم هم نوسان داشته باشند.حال مسئله این بود که آیا شار نوترینوی خورشیدی در بردارنده طعم های دیگر در کنار طعم نوترینوی الکترونی است؟ به آشکارساز خاصی نیاز بود که به طعم های گوناگون نوترینوها حساس باشد و به طور مستقل بتواند هر طعمی را امتحان کند. آشکارساز خاصSNO در یک معدن نیکل درکانادا ساخته شد که بسیار شبیه آشکارساز چرنوکوف Kamiokande بود به جز این که با استفاده از آب سنگین با آستانه آشکارسازی نوترینوی MeV2.2 کار می کرد. در اینجا واکنش های زیر دیده می شد
υe+ d→e-+ p+p (2-30)
υx+ d→υx +n +p (2-31)
υx+ e-→υx +e- (2-32)
واکنش اول واکنش جریان باری (CC) است، واکنش دوم واکنش جریان خنثی (NC) و واکنش سوم واکنش پراکندگی الاستیک نوترینو(ES) است. واکنش اول (CC) تنها به نوترینوهای نوع الکترونی حساس است، پراکندگی الاستیک (ES) اساسا حساس تر به υeنسبت به υx و υτ است. از مقایسه این دو شار می توان به تبدیل طعم ها پی برد. واکنش NC به همه طعم ها حساس است. در یک سری از آزمایشات مشخص شد که:
1) از طریق واکنش های CC و ES کمبودی از نوترینوهای الکترونی در مقایسه با پیش گویی های مدل خورشیدی وجود داشت چون φCCυe<φESυx2) با استفاده از این نتایج و نتایج اخیر [6] در واکنش NC روشن شد که شار نوترینوی در آشکارساز باید در بردارنده طعم های دیگر هم باشد و شار کل کاملا با پیش گویی مدل خورشیدی سازگار است.
همچنین نتایج به این حقیقت اشاره دارد که تغییر طعم ها بین محل تولید در خورشید و در آشکارساز روی زمین با رفتار نوسانی سازگار است که خود به تفاوت های جرمی غیر صفر برای طعم های نوترینویی اشاره دارد. احتمال اینکه نوترینوی طعم α(υα )به نوترینوی طعمβ(υβ)تغییر کند توسط رابطه زیر توصیف می شود:
pυα→υβ= sin22θsin2 πxL (2-33)
که L به صورت زیر تعریف می شود:
L=4πEħ∆m2c32.48 EMeV eV2∆m2m (2-34)
که L برحسب متر است و از∆mij2=mi2-mj2 استفاده شده است.
2-2-3 نوترینوهای اتمسفری
قرائن تغییر طعم در خانواده نوترینو از مطالعه اشعه کیهانی بدست آمده است. زمین بطور پیوسته توسط اشعه کیهانی بمباران می شود که شامل پروتون ها و الکترون های پر انرژی است. پروتون ها در برخوردهایشان با هسته ها مانند نیتروژن و اکسیژن در بالای اتمسفر واکنش کرده و مزون های π و k تولید می شوند. مزون π در بالای اتمسفر واپاشی می کند.
π+→μ++υμ μ+→e++υe +υμ (2-35)
π-→μ-+υμ μ-→e-+υμ +υe (2-36)
نوترینو و آنتی نوترینو در ارتفاع میانگین km20 با انرژی که تا چند GeVمی رسد تولید می شوند. در این فرایندها دو نوع نوترینوی میوانی و یک نوع نوترینوی الکترونی تولید می شود. بنابراین نسبت N(υμ)N(υe) برابر با دو می شود. این نوترینوهای اتمسفری از میان زمین عبور کرده به آشکار ساز می رسند. در این فرایندبرخی از نوترینوها تنها 10 تا 30 کیلومتر حرکت کرده در حالی که برخی دیگر که از سوی دیگر زمین به آشکار ساز می رسند فاصله ای در حدود 13000 کیلومتر را می پیمایند. اگر فرضیه امکان نوسان در طعم نوترینوها صحیح باشد در این سیر طولانی نوسان طعم را عوض خواهد کرد. در آشکارساز آبی مثل Super Kamiokande لپتون های باردار در واکنش هایی به فرم زیر تولید می شوند:
υe+ n→e-+p (2-37)
υe+ p→e++ n (2-38)
υμ+ →μ-+ p (2-39)
υμ+ p→μ++ n (2-40)
لپتون های باردار تولید شده تابش چرنوکوف می کنند حلقه چرنوکوف تولید شده توسط الکترونهای پر انرژی در مقایسه با حلقه های روشن تابش های چرنوکوف تولید شده توسط میوان متفاوت است ( الکترون ها بیشتر از میون ها در عبور از آب پراکنده می شود). داده های بسیار دقیقی از SuperkamiokandeN(υμ)N(υe) را برابر با یک میدهد که نشانه روشنی از نابودی نوترینوی میوانی و تعدادی بیشتری از مقدار مورد انتظار از نوترینوی الکترونی است. یک تفسیر محتمل این است که نوترینو υμ به نوترینو υτ نوسان کرده که آنان نیز به علت آنکه انرژیشان خیلی کم است نمی توانند لپتون τ را تولید و بنابراین مشاهده شوند. علاوه بر این فرونشانی زیاد در شار نوترینوی υμ با ماکزیمم زاویه مخلوطی θ~π4 سازگار است که نشان دهنده طول نوسانی از مرتبه قطر زمین است.
2-3 شکل طیف بتا و نیمه عمر
2-3-1فضای فاز فرایندهای دو سه جسمی
در فرایند واپاشی β- یک نوترون به یک پروتون تبدیل و یک الکترون و یک آنتی نوترینو منتشر می شود. میزان گذار از رابطه زیر بدست می آید:
λ= 2πħψfHintψi2dndEe-,υe (2-41)
که ψi تابع موج هسته مادر ψPr1,r2,…,rA وψf حاصلضرب توابع موج ψDr1,r2,…,rAψe-re, Zψυerυe است .
در هسته مادر و دختر نوکلئون ها با مختصات r1,r2,…,rA موجود هستند اما یکی از نوترون ها از طریق هامیلتونی بر هم کنش به پروتون تبدیل می شود. در همان زمان یک الکترون با تابع موج ψe-re, Z از هسته منتشر می شود. این تابع موج کولنی درحالت غیر نسبتی است.rυeψυe تابع موج آنتی نوترینو می باشد . با در نظر گرفتن بر هم کنش به عنوان بر هم کنش نقطه ای از rn-rpδrn-re-δrn-rυeδg با قدرت g استفاده می کنیم که انتگرال گیری را در محاسبه عناصر ماتریس گذار آسان می سازد . مقدارλ را به فرم زیر می نویسیم:
(2-42) λ= 2πħMfi2dndEe-,υeدر مکانیک کوانتومی نشان داده شده است که برای یک ذره با یک درجه آزادی مقید در فاصله (0,L)تعداد سطوح n برای یک ذره با تکانه در فاصله (0,P)عبارت است از (شکل (2-1)):
n=L.p2πħ (2-43)

شکل (2-1) مقایسه بسط فضای فاز کلاسیکی (a) و مکانیک کوانتومی (b) برای حرکت ذره تک بعدی در مختصات (x,px).

بنابراین درحالت سه بعدی:
n=12πħ3d3xd3p=V2πħ3d3p (2-44)
با چگالی حالت ها
dndE=dndpdpdE=V2πħ34πp2dpdE(2-45)
برای حالت نسبیتی E2=p2c2+m2c4 و EdE=pdp .c2 است بنابراین:
dndE= 4πVc2(2πħ)3pE(2-46)
یا
dndE=12π2Vc3ħ3EE2- m2c4(2-47)
در فرایند سه جسمی مانند واپاشی β تنها دو ذره آزاد و غیر وابسته با شرایط زیر ظاهر می شود
pe-+ pυe+pY=0 (2-48)
E= Ee-+ Eυe+ EY(2-49)
بنابراین چگالی حالت ها از چگالی های مستقل حالتهای نهایی الکترون و نوترینو بدست می آید:
dndEe-, υe=V2(2πħ)6ddEpe-2dpedΩepυe2dpυedΩυe(2-50)
که dΩالمان زاویه فضایی است. اگر چگالی حالت ها برای الکترون منتشر شده با انرژی بین Ee-و Ee-+ dEe- را محاسبه کنیم ، Ee- و pe- متناظر ثابت می ماند و بدست می آوریم :
dndEe-, υe=V2dΩe-dΩυe(2πħ)6pe-2dpepυe2dpυedE(2-51)
و از آنجایی که E= Ee-+ Eυe+ EYاست و انرژی پس زنی هسته که بسیار کوچک است، را نادیده گرفته ایم برای Ee-ثابت
ddE= ddEυe(2-52)
با ترکیب نتایج بالا برای چگالی حالتهای نهایی الکترون منتشر شده با انرژی در فاصلهEe- و Ee-+ dEe- و تکانه در فاصلهpe- و pe-+dpe- معادله زیر حاصل می شود ( انتگرال گیری روی زاویه dΩe-و dΩυe است.)
dndEe-, υe=V24π4ħ6c3pe-2(E-Ee- )21-mυe2c4(E-Ee- )2dpe-(2-53)
2-3-2 شکل طیف بتا
احتمال واپاشی جزیی یعنی احتمال انتشار الکترون با انرژی در فاصلهEe- وEe-+ dEe-و تکانه در فاصله pe- و pe-+dpe- برابر است با
Ʌpe-dpe-= 2πħMfi2V24π4ħ6c3pe-2(E-Ee- )21-mυe2c4(E-Ee- )2dpe-(2-54)
در حالت کلی
Mfi=ψD*r1r2,…,rAψe-*re-,Zψυe*rυe×HintψPr1r2,…,rAdr1dr2…drAdre-drυe(2-55)
تابع موج نوترینو به فرم زیر می نویسیم :
1Vexp(ikυe . rυe)(2-56)
در مورد الکترون تفاوت تابع موج آن از تابع موج تخت به دلیل بر هم کنش با میدان الکترواستاتیکی هسته را در نظر می گیریم:
ψe-*(0,Z)2 ≅ 1V2πɳ1-e-2πɳ ≅ 1VF(Z , pe-)(2-57)
با
ɳ= ± Ze24πϵ0ħve-(2-58)
علامت مثبت (منفی)برای واپاشی β-(β+) استفاده می شود و ve- سرعت نهایی الکترون را مشخص می کند. تابع F(Z , pe-) تابع فرمی نامیده می شود و اندکی شکل طیف بتا را تغییر می دهد، شکل (2-2) را ببینید. برای ɳ کوچک (Z کوچک تکانه بزرگ pe- ) تابع فرمی به واحد نزدیک است .

شکل (2-2) توزیع های انرژی وتکانه الکترون در واپاشی بتا. این توزیع ها
برای واپاشی با MeV 2.5Qβ=است.
با در نظر گرفتن موارد ذکر شده احتمال واپاشی جزئی Ʌpe-dpe- خواهد بود:
Ʌpe-dpe-=Mfiˊ22π3ħ7c3 FZD,pe-pe-2E-Ee-2×1-mυe2c4E-Ee- 2dpe- (2-59)
در معادله فوق عنصر ماتریسی Mfi’ نشان دهنده آن است که ساختار دقیق تابع موج الکترون و آنتی نوترینو (یعنی اثر کولنی و بهنجارش) در نظر گرفته شده اند.می توان عبارت Ʌpe-dpe- را به ɅEe-dEe- تبدیل کرد.
تاثیر جرم نوترینو در شکل طیف بتا جالب است. اگر عنصر ماتریس Mfi’2 کاملا مستقل از pe- باشد و برای نوترینوی بدون جرم، کمیت سمت چپ زیر:
Ʌpe-pe-2FZD,pe-∝E-Ee-Mfi'(2-60)
باید به طور خطی با انرژی کل (یا جنبشی) الکترون تغییر کند. محل برخورد با محور انرژی (یا تکانه) راه مناسب در تعیین نقطه نهایی انرژی جنبشی (و بنابراین مقدارQ) است . این روش اصولا در گذارهای مجاز به کار برده می شود.
اگر جرم نوترینو کوچک ولی غیر صفر باشد انحراف جالبی از خط مستقیم نمایان می شود. چنانکه در شکل (2-3)، که منحنی فرمی- کوری نامیده می شود، برای واپاشی3H به3Heبه ازاء eV 0mυe= وeV30mυe= رسم شده است.

شکل (2-3) نمودار فرمی-کوری برای واپاشی 3H به 3Heبه ازاء eV 0mυe= وeV30mυe=.
2-3-3 نیمه عمر کل در واپاشی بتایی
احتمال واپاشی کل و بنابراین نیمه عمر T(β-)را می توان با انتگرال گیری روی تمام تکانه های الکترون pe- (یاEe-) که از واپاشی β- ناشی شده را بدست آوریم. برای0 mυe=:
λβ-= 0pe-(max)Mfi’22π3ħ7c3 FZD,pe-pe-2E-Ee-2dpe-(2-61)
انتگرال را با تبدیل تکانه (pe-) و انرژی (Ee-) به متغیرهای کاهش یافته ɳ≡ pe-m0c و ω≡Ee-m0c2=Te-m0c2+1 محاسبه می کنیم. رابطه جرم-انرژی نسبیتی به فرم زیر است :
ω2= ɳ2+ 1(2-62)
ωdω=ɳdɳ (2-63)
بنابراین احتمال گذار خواهد بود:
λβ-=m05c42π3ħ71ω0FZD, ω2-1Mfi’2ω2-1(ω0- ω)2ωdω (2-64)
کهω0 ماکزیمم انرژی کاهش یافته الکترون است. به طور کلی انتگرال باید به طور عددی محاسبه شود که آن را تابع ƒمی نامیم که به ZD و ω0(یاE) وابسته است.
ƒZD, ω0= 1ω0FZD, ω2-1ω2-1(ω0- ω)2ωdω (2-65)
سرانجام به عبارت زیر برای نیمه عمر می رسیم :
ƒT=0.6932π3ħ7g2m05c4Mfi’2(2-66)
تابع ƒبرای ZD کوچک و انرژی نقطه پایانی واپاشی بتایی ω0 بزرگ ( 1ω0≫) توسط ƒZD, ω0 ~ ω055 می تواند تقریب بسیار خوبی باشد. حال اگر بدانیم که چگونه عنصر ماتریس Mfi’ در واپاشی بتایی و نیمه عمر محاسبه می شود می توانیم قدرت g فرایند واپاشی بتایی را تعیین کنیم . برای گذارهای فوق مجاز 0+→0+ ،Mfi’= 2 است و بنابراین مقدارهای ƒT باید همگی همانند باشند و ثابت قدرت واپاشی β- عبارت است از :
g=0.88 ×10-4MeV fm3(2-67)
می توانیم ثابت قدرت جفتیدگی فوق را با ثابت های بنیادی دیگر مقایسه کنیم. با استفاده از ساده ترین فرم ترکیب ثابت های بنیادی m0، ℏو c عبارت زیر حاصل می شود.
gm2cℏ=1.026×10-5(2-68)
در جدول زیر ثابت های جفتیدگی برای برهم کنش های قوی، ضعیف، الکترومغناطیسی و گرانشی ارائه شده است.
جدول (2-3) ثابت های قدرت.
1 ثابت قدرت پایون-نوکلئون (برهم کنش قوی)
1137ثابت قدرت برهم کنش الکترومغناطیسی
10-5 ثابت قدرت جفتیدگی ضعیف
10-39 ثابت قدرت جفتیدگی گراویتون
2-4 رده بندی در واپاشی بتایی
2-4-1 برهم کنش ضعیف مدل غیر نسبیتی بدون اسپینی
با جایگذاری مقدارهای ثابت c ، m0 ، g و ℏ در معادله (2-66) نتیجه زیر حاصل می شود
ƒT≅6000Mfi’2(2-69)
برای یک سیستم نوکلئونی بدون اسپینی غیر نسبیتی (تقریب مرتبه صفرم ) با بر هم کنش نقطه ای با هامیلتونی به فرم زیر را فرض می کنیم:
Hint=gδrn-rpδrn-re-δrn-rυe(Ô(n→p))(2-70)
که عملگر Ô(n→p) نوترون را به پروتون تبدیل می کند. تابع موج هسته ای برای هسته ZAXN را باψP(rp,1,rp,2,…,rp,Z;rn,1,…rn,N) و هسته دختر با ψD(rp,1,rp,2,…,rp,Zrp,Z+1,;rn,2,…rn,N) نمایش می دهیم. بنابراین فرایندی را ملاحظه می کنیم که نوترون با مختصات rn,1 به پروتون با مختصات rp,Z+1 تبدیل می شود. عنصر ماتریس کاهش یافته (که فاکتور کولنی تابع موج الکترون را در نظر نگرفته ایم ) به فرم زیر است:
Mˊfi=ψDrp,1,rp,2,…,rp,Zrp,Z+1,;rn,2,…rn,Nψe-*re-ψυe*rυe.Hint ×ψP(rp,1,rp,2,…,rp,Z;rn,1,…rn,N)dre-drυedri(2-71)
انتگرال گیری روی تمام مختصات نوکلئونی است. مختصات A-1 نوکلئون دیگر بدون تغییر باقی مانده است، وψP(ri) و)ψD(riبه فرم زیر است:
ψPri= i=1ZφPrP,i.j=1NφPrn,j(2-72)
ψDri= i=1Z+1φDrP,i.j=2NφDrn,j(2-73)
عنصر ماتریس بالا به فرم زیر در می آید:
Mˊfi=gφD*rPψe-*(r)ψυe*(r)Ô(n→p)φPrndr(2-74)
که زیرنویس φrp(p≡n,p) مشخص کننده نوترون یا پروتون است. با جایگذاری موج های تخت الکترون و آنتی نوترینوی خارج شده نتیجه می شود:
Mˊfi=gφD*rPeike+kυe.rÔ(n→p)φPrndr(2-75)
در اکثر فرایندهای واپاشی بتایی کم انرژی، طول موج های الکترون و آنتی نوترینو در مقایسه با شعاع هسته ای نوعی کوچک است یعنی1RλυeوRλe-≪ و می توان بسط سری انجام داد:
Mˊfi=gφD*rPÔn→pφPrndr+ ike+kυe.φD*rPrÔn→ pφPrndr+ …(2-76)
جمله اول یعنی یک نوترون به یک پروتون تبدیل شده است و در صورتی که پاریته های تابع های موج تک ذره ای مادر و دختر یکسان باشند وجود دارد. درجمله دوم به علت فاکتورr،تابع های موج باید پاریته مخالف داشته باشند. بنابراین قانون گزینش پاریته ظاهر می شود.
با بسط موج تخت بر حسب هماهنگ کروی:
eike+kυe.r= L,M4πiLjLkrYLMke-+kυe.YLM*(r)(2-77)
که k≡ke-+kυeوr≡(θr,φr)مشخص کننده متغییرهای زاویه ای هستند به عناصر ماتریس خاص از نوع زیر می رسیم:
φD*rPÔn→pYLM*(r)φPrnjLkrdr(2-78)
تابع های موج توصیف کننده حرکت تک ذره ای در پتانسیل میانگین برای هسته مادر و دختر به قسمت های شعاعی و قسمت های زاویه ای تقسیم می شود (قسمت اسپینی در حال حاضر نادیده گرفته شده است) چنانکه:
φDr= RD(r)YLDMD(r)φPr= RP(r)YLPMP(r)(2-79)
این عمل عنصر ماتریس L را به صورت حاصلضرب یک قسمت شعاعی خالص در یک قسمت زاویه ای در می آورد یعنی:
YLDMD*rYLM*rYLPMPrdΩ.RDrjLkrRP(r)r2dr (2-80)
بنابراین قسمت اول با استفاده ازتئوری EckartWigner- [7] فورا، منجر به جمع تکانه زاویه ای می شود، چنانکه LP=LD+Lکه L مشخص کننده تکانه زاویه ای حمل شده توسط جفت (e-,υe) است. با ترکیب تمام نتایج بالا ،سرانجام بدست می آید:
Mfi2= LMfi’ L2(2-81)
برای حالت اولیه πP و LP وحالت های نهایی πD وLD، قانون گزینش مولفه خاصی ازL را در فرآیند واپاشی β وارد می کند:
πP= πD(-1)LLP=LD+L(2-82)
2-4-2 معرفی اسپین ذاتی
نوکلئون ها و همچنین الکترون و آنتی نوترینو منتشر شده فرمیون هستند بنابراین بایستی درجه آزادی اسپین نیز به حساب آورده می شود . بنابراین در عملگر بر هم کنش ضعیف عبارتی که تغییر در جهت گیری اسپین ذاتی بین نوترون و پروتون را ایجاد می کند باید حضور داشته باشد.
در عناصر ماتریسی Mfi’ عبارت هایی شبیه
Mfi’= ψD*σψP.ψe-*σψυedr(2-83)
ظاهر می شوندکه انتگرال گیری روی مختصات هسته ای و جمع روی جهت گیری ممکنه اسپین ذاتی است. قانون گزینش متناظر به فرم زیر است:
JP= JD+Jβ(Jβ=LP+Sβ)πP= πD(-1)Lβ(2-84)
که Lβ(Sβ) ، تکانه زاویه ای حمل شده توسط اسپین مداری (ذاتی) است. چون Sβ= 0 ,1 است عنصر ماتریسی کل می تواند به فرم زیر باشد:
Mfi’2= Lβ,SβMfi’Lβ,Sβ2(2-85)
2-4-3 گذارهای فرمی و گاموف-تلر
قدرت واپاشی بتایی برای فرآیندهای با 1 و 0Sβ= متفاوت است. اگر 0Sβ= باشد گذار فرمی با قدرت gF است و اگر 1Sβ= باشد گذار گاموف-تلر با قدرت gGT است و عناصر ماتریسی برای گذارهای فرمی وگاموف-تلر به صورت زیر توصیف می شوند :
Mfi’2= Mfi'(F)2+ gGT2gF2Mfi'(GT)2(2-86)
و نسبت قدرت جفتیدگی 004/0±259/1-gGTgF= است. وابستگی زیاد مقدار ƒT به عنصر ماتریسی Mfi’2منجر به دسته بندی میزان های گذار واپاشی بتایی معلوم گوناگون بر حسب مقدارهای logƒT می شود. برای گذار فرمی خالص (0Lβ= ،0Sβ=)با محدودیت تکانه زاویه ای، 0∆J= و بدون تغییر پاریته،1Mfi'(F)2=است و برای گذار گاموف-تلر خالص (0Lβ= ،1Sβ= ) با تغییر تکانه زاویه ای 1∆J= و بدون تغییر پاریته ،3Mfi'(GT)2= است. نتایج اخیر توسط جمع روی جهت گیری اسپین 12 و با استفاده از ویژه بردار اسپین 12 بدست آمده است.
2-4-4 فرآیند تسخیر الکترونی
اگر اختلاف انرژی بین هسته مادر و هسته دختر کمتر از2m0c2 باشد. به جای واپاشی β+، الکترون ها از حالت مقید اتمی توسط یک پروتون در هسته تسخیر می شوند و یک نوترون تشکیل می شود و یک آنتی نوترینو منتشر می شود. مقدار Q با در نظر گرفتن اختلاف های کوچک انرژی بستگی الکترون برابر است با:
QEC= MPc2-MD*c2=MPc2-(MDc2+Bn)(2-87)

تسخیر الکترون منجر به ایجاد حفره در قوی ترین حالت اتمی مقید می شود و فرایند ثانویه از قبیل انتشار اشعه های x و الکترون های اوژه مشاهده خواهد شد. هنگامی که الکترون های اوژه L از طریق تبدیل داخلی اشعه Kx منتشر می شوند، انرژی جنبشی الکترون L توسط رابطه زیر داده می شود:
Te-=hυk-BL=BK-2BL(2-88)
از آنجایی که در تسخیر الکترون یک ذره ( نوترینو) منتشر می شود، چگالی حالتهای نهایی به فرم زیر می باشد:
dnυedE= V.Pυe22π2ħ3dPυedE(2-89)
pυe تکانه نوترینو می باشد. با نادیده گرفتن انرژی کوچک پس زنی و جرم صفر برای نوترینو و از آنجایی که pυe2=Eυe2c2است در نتیجه dpυedE=1c و بنابراین:
dnυedE= V.Eυe22π2c3ħ3(2-90)
و عنصر ماتریسی گذار Mfi به فرم زیر می باشد
Mfi=g.ψυ*0ψe-(0)ψn*rψprd3r(2-91)
تابع موج الکترون kψe-0=1π(Zm0c24πϵ0ħ2)32 (2-92)
است. با ترکیب نتایج فوق، احتمال گذار تسخیر الکترون kλEC=Eυe2π2c3ħ4.g2Mfi’2(Zm0c24πϵ0ħ2)3(2-93)
که وابستگی درجه دوم به انرژی کل نوترینو Eυe دارد.
2-4-5 فرایند بتای معکوس
بعد از انتشار تئوری فرمی، Bethe و Peierls احتمال واپاشی بتای معکوس را مطالعه کردنند. در اینجا هسته یک نوترینو یا آنتی نوترینو تسخیر می کند، یک الکترون یا پوزیترون را ساطع می کند. این فرایندها به فرم زیر نشان داده می شوند:
ZAXN+υe→ Z+1AYN-1+e-(2-94)
ZAXN+υe→ Z-1AYN+1+e+(2-95)
فرایند معکوس واپاشی نوترون به فرم
υe+p →n+e+(2-96)
است و احتمال گذار برای واکنش معکوس
λ= 2πħMfi2dndE(2-97)
و سطح مقطع برابر است با
σc=λcV=2πVℏcMfi2dndE(2-98)
پس زنی هسته را نادیده می گیریم و پوزیترون را به عنوان ذره نسبیتی در نظر می گیریم. بنابراین چگالی حالتهای نهایی عبارت است از
dne+dE=Pe+22π2ħ3VdPe+dE=Pe+2π2ħ3c2VEe+=m02cV2π2ħ3ωω2-1 (2-99)

که از انرژی کاهش یافته ω= Em0c2 استفاده کرده ایم و عنصر ماتریس هسته ای متناظر
Mfi’2= Mfi'(F)2+ gGT2gF2Mfi'(GT)2(2-100)
است. بنابراین سطح مقطع برابر خواهد بود با
σc=gF2m02πℏ4MfiˊF2+gGTgf2MfiˊGT2ωω2-1 =(ℏm0c)2G2{MfiˊF2+gGTgf2MfiˊGT2}ωω2-1(2-101)
که روی تمام زوایای بین آنتی نوترینو و پوزیترون انتگرال گیری شده است.
فصل سوم
1615440109347000
واپاشی دوبتایی
3-1 واپاشی دوبتایی
واپاشی دوبتایی فرایند نادری است که در آن عدد اتمی Z دو واحد تغییر می کند در حالی که عدد جرمی A ثابت باقی می ماند. بنابراین فرایند مرتبه دوم در محاسبات فرمی است. به علت ثابت جفتیدگی ضعیف و اینکه فرایند از مرتبه بالاتری است، واپاشیدوبتایی نیمه عمر طولانی ، معمولا 1020 تا 1023 سال دارد. آشکارسازی این چنین واپاشی های نادر بسیار سخت است.
فرم وابستگی جرم به عدد اتمی Z در هسته به شکل زیر است:
MAZ,A= constant+2bsym(A2-Z)2A2+bCoulZ2A13+ meZ+ δ (3-1)
در اینجا ضریب انرژی تقارنی،bsym، تقریبا MeV50 و ضریب انرژی کولنی،bCoul، از مرتبهMeV7/0 است. عبارت meZ انرژی بستگی الکترون، کوچک است و می توانیم آن را نادیده بگیریم. δ انرژی جفتیدگی هسته است و تقریبا ±12A12MeV برای Z و N زوج یا Z و N فرد می باشد. برای A فرد δ صفر است [8]. برای A زوج دو سهمی، فرمول (3-1)، وجود دارد آن چنانکه در شکل (3-1) برای 76 A = نشان داده شده است.

شکل(3-1)نشان دهنده وابستگی جرم به عدد اتمی است. دو سهمی دو مقدار برای عبارت جفتیدگی در معادله (3-1) را نشان می دهد[7].
در این مورد 76Ge به دلیل ملاحظات انرژی واپاشی تک بتایی به 76As انجام نمی دهد به جای آن بار هسته دو واحد تغییر می کند و واپاشی دوبتایی اتفاق می افتد. برای A فرد، عبارت جفتیدگی برای هسته فرد-زوج و هسته زوج-فرد یکسان است و تنها یک سهمی وجود دارد. بنابراین آنچنان که در شکل (3-1) نشان داده شده است واپاشی دوبتایی در هسته هایی که Z و N زوج دارند رخ می دهد.
3-1-1 مدهای واپاشی دوبتایی
مدهای واپاشی دوبتایی عبارتند از:
ZAXN →Z+2AXN-2+ e-+e-+υe+υe(3-2)
ZAXN →Z-2AXN+2+ e++e++υe+υe(3-3)
ZAXN+ eb- →Z-2AXN+2+ e++υe+υe(3-4)
ZAXN+ eb-+ eb- →Z-2AXN+2+υe+υe(3-5)
eb- نشان دهنده الکترون مقید است. این مدها در قیاس با واپاشی تک بتایی، واپاشی پوزیترون و تسخیر الکترونی هستند. برهم کنش بیان شده در معادله (3-2) واپاشی دوبتایی با دو نوترینو (2υββ) است با این شرایط که
MAZ,A>MAZ+2,A(3-6)
و واپاشی تک بتایی امکان پذیر نباشد.
این مدها در سال 1935 توسط Goeppert-Mayer ارائه شد[9]. در سال های بعد، Majorana [10]، Racah [11] و Furry [12] مد پنجم از واپاشی دوبتایی را کشف کردند که به فرم زیر می باشد:
n1 → p1+ e1-+,,υ,,,,υ,, + n2 → p2 +e2-(3-7)
این فرایند واپاشی دوبتایی بدون نوترینو (0υββ) می باشد که اگر آنتی نوترینوی منتشر شده در مرحله اول همانند نوترینوی تسخیر شده در مرحله دوم باشد رخ می دهد.اگر نوترینو ذره دیراک باشد و اگر نوترینو بدون جرم باشد این فرایند اتفاق نمی افتد همچنین از لحاظ هلیسیتی نیز امکان پذیر نیست. آنتی نوترینو در برهم کنش اولی راستگرد است ولی نوترینو جذب شده در برهم کنش دوم بایستی چپگرد باشد. در فرایند واپاشی 0υββ پایستگی عدد لپتونی نقص می شود. بنابراین مشاهده واپاشی 0υββ، فیزیک ماوراء مدل استاندارد را لازم دارد.
مدهای واپاشی دوبتایی خصوصیات مشابه و متمایزی دارند. خصوصیات مشابه عبارتند از:
• لپتونها تمام انرژی در دسترس را حمل می کنند. انرژی هسته پس زنی خیلی کوچک است،1 QAmp≪ .
• گذار در بردارنده حالت پایه 0+ هسته اولیه و حالت پایه 0+ هسته نهایی است. در موارد کمی از لحاظ انرژی گذار به حالت برانگیخته 0+ یا 2+ نیز امکان دارد. اما چون فضای فاز کوچک است احتمال نیز خیلی کم می باشد.
• هر دو فرایند، فرایند برهم کنش ضعیف مرتبه دوم هستند. فضای فاز مشاهده شده ( میزان واپاشی برای مد 2υββ تقریبا متناسب با Q11 و برای مد 0υββ تقریبا Q5 است) اولویت را به 0υββ می دهد که اگرچه پایستگی عدد لپتونی را نقص می کند.
خصوصیات متمایز عبارتند از:
• در مد2υββ دو نوترون که محتمل گذار هستند ناهمبسته هستند ولی همزمان واپاشی می کنند در حالی که در 0υββ دو نوترون همبسته هستند.
• در مد2υββ جمع طیف انرژی جنبشی الکترون (T1+ T2) پیوسته است و پیک در زیر Q2 قرار دارد. این به خاطر جرم الکترون ها و جاذبه کولنی است. از طرف دیگر در مد 0υββ، جمع انرژی جنبشی الکترون ثابت است T1+ T2=Q.
دو مد آزمایشی را می توان توسط اندازه گیری جمع انرژی الکترون های منتشر شده همراه با تحلیل مناسب انرژی تفکیک کرد حتی اگر میزان واپاشی برای مد0υββ خیلی کوچکتر از مد2υββ باشد.
3-1-2 هسته های واجد شرایط واپاشی دوبتایی
35 هسته وجود دارد که شرایط معادله (3-2) را دارند، اما تنها 11 هسته مقدار Q آنان برای استفاده های آزمایشی کاربردی هستند که در جدول (3-1) ارائه شده است. این مقدار Q تقریبا MeV2 است. مقدار Q در میزان واپاشی کمیت بسیار مهمی است. توجه کنید که تنها یک هسته فراوانی بالاتر از 12 درصد دارد.
جدول(3-1)داوطلبان واپاشی دوبتایی (با Q بزرگتر از 2MeV ). کمیت های G2υوG0υ ضریب های فضای فاز هستند.
واجدین شرایط واپاشی دوبتایی مقدار Q
(KeV) فراوانی طبیعی
(%) (G2υ)-1(G0υ)-148Ca →48Ti 4271 ±40.1872.52E164.10E2476Ge →76Se 2039.6 ±0.97.87.66E184.09E2582Se →82Kr 2995 ±69.22.30E179.27E2496Zr →96Mo 3350 ±32.85.19E164.46E24100Mo →100Ru 3034 ±69.61.06E175.70E24110Pd →110Cd 2013 ±1911.82.51E181.86E25116Cd →116Sn2802 ±47.51.25E175.28E24124Sn →124Te2288.1 ±1.65.645.93E179.48E24130Te →130Xe 2533 ±434.52.08E175.89E24136Xe →136Ba2479 ±88.92.07E175.52E24150Nd →150Sm 3367.1 ±2.25.68.41E151.25E24در جدول فوق کمیت های (G2υ)-1 و (G0υ)-1 که بعدا توصیف خواهند شد اثر زیادی بر میزان های واپاشی 2υββ و 0υββ دارند.
برای آزمایش واپاشی دوبتایی انتخاب بهترین هسته بسیار مهم است. طبق آنچه گفته شدمقدار Q مهم است اما تنها عامل نیست. کمیت های دیگری که می توانند در بیشینه کردن موفقیت آزمایش آشکارسازی واپاشی دوبتایی مهم باشند عبارتند از: فراوانی عناصر، دردسترس بودن ایزوتوپ، امکان غنی سازی و قیمت چشمه. بسیاری از این کمیت ها به هم مربوطند. برای بهینه سازی بازده چشمه، تعداد هسته ها باید زیاد باشدکه به فراوانی و امکان غنی سازی و دردسترس بودن ایزوتوپ بستگی دارد. همه این عوامل می توانند روی قیمت چشمه اثر بگذارند.
از 11 هسته بیان شده تنها واپاشی دوبتایی برای حالت پایه 9 تا از هسته ها اندازه گیری شده است:48Ca ،76Ge ، 82Se ،96Zr ، 100Mo ، 116Cd ، 128Te، 130Te، 150Nd و 238U که در جدول لیست نشده است. اما مد بدون نوترینو (0υββ) هنوز مشاهده نشده است.
3-1-3 واپاشی های حالت برانگیخته
علاوه بر گذار به حالت پایه، گذار به حالت های برانگیخته گوناگون نیز امکان پذیر است. برای آشکارسازی واپاشی دوبتایی به حالت پایه بایستی هسته نهایی یا الکترون ها آشکار شوند که همیشه کار آسانی نیست. تابش های مشخصه که از واپاشی به حالت برانگیخته حاصل می شوند می توانند سیگنال مناسبی را ایجاد کنند. علاوه بر الکترون های منتشرشده،آشکارسازی همزمانγ ها می تواند تابش های زمینه را کاهش زیادی دهد. برای داشتن سیگنال واضح حتی نیازی به ثبت الکترون نداریم. انرژی های گسسته اشعه γ سیگنال های واضح تری از طیف الکترون ایجاد می کنند. وقتی نیاز است که الکترون آشکار شود برای داشتن کمینه میرایی الکترون ها، چشمه باید بسیار نازک باشد. الکترون ها در دامنه انرژی مورد بحث در واپاشی دوبتایی، طول برهم کنشی از مرتبه میلی متر دارند. بنابراین ضخامت منبع باید بسیار کمتر از این مقدار باشد. وقتی فقط اشعه های γ آشکارسازی شوند منبع می تواند ضخیم تر باشد، در نتیجه تعداد هسته هایی که توانایی واپاشی دارند بیشتر می شود. بر حسب اینکه انرژی حالت برانگیخته چقدر باشد نیمه عمر برای گذار به حالت برانگیخته بیشتر از گذار به حالت پایه است. داده های واپاشی دوبتایی به حالت های برانگیخته نمی تواند بین مدهای واپاشی 0υββ و 2υββ تمیز قائل شود.
مطالعه واپاشی دوبتایی به حالت های برانگیخته می تواند تکمیل کننده اطلاعات در مورد واپاشی دوبتایی در حالت کلی باشد. در خصوص واپاشی دوبتایی بدون نوترینو هدف اصلی اندازه گیری آزمایشی عناصر ماتریس هسته ای است. انگیزه دیگر برای مطالعه حالت برانگیخته شامل آشکارسازی تسخیر دو الکترونی بدون نوترینو به حالت برانگیخته است.
محتمل ترین حالت برانگیخته در واپاشی دوبتایی، حالت های01+ است. اگر در واپاشی دو بتایی حالت01+ ایجاد شود هسته با انتشار اشعه γ به حالت پایه برمی گردد. به علت قواعد گزینش تکانه زاویه، گذار 01+→01+انجام نمی شود. اگرچه، آن چنانکه در شکل (3-2) نشان داده شده است، اغلب حالت میانی 21+ وجود داردکه می تواند واپاشی را ممکن سازد. بنابراین، واانگیختگی از 01+→21+→01+ وجود دارد که به ترتیب دو اشعه γ مشخصه تولید می شودکه در اصل همزمان هستند.

شکل (3-2) طرح واپاشی دوبتایی به حالت برانگیخته وتابش متعاقب آن.
3-2 میزان واپاشی دوبتایی دو نوترینویی
مد 2υββ واپاشی ضعیف مرتبه دوم است که در شکل های زیر به نمایش در آمده است:

شکل (3-3) نموداری برای واپاشی 2υββ در مکانیسم دو-نوکلئونی.

شکل (3-4) سطح انرژی های فرایند واپاشی دو بتایی از هسته ZAXN به هسته Z+2AXN-2 که توسط حالت میانی در هسته Z+1 رخ می دهد.
با استفاده از قانون طلایی فرمی
dλ=2πδE0- fEfm,βfHmmHiEi- Em-pυ- Ee2(3-8)
در اینجا، Ei، Em و Ef به ترتیب انرژی های هسته اولیه، میانی و نهایی است. m حالت های هسته میانی را نشان می دهد. جمع روی m شامل تمام حالت های مجازی وابسته در هسته فرد-فرد میانی است.عناصر ماتریسی شامل اجزاء فرمی و گاموف-تلر هستند. عناصر ماتریس فرمی (MF2υ) و عناصر ماتریس گاموف-تلر(MGT2υ) به فرم زیر می باشند.
MF2υ= mflτl+mmkτk+iEm- (Mi+Mf )2 (3-9)
MGT2υ= mflσlτl+m . mkσkτk+iEm- (Mi+Mf )2(3-10)
در اینجاσو τ ماتریس های پائولی هستند. چگالی حالت ها دربردارنده چگالی حالت های نوترینو و حالت های الکترون است. از آنجایی که دو جفت ذره یکسان منتشر می شود، ضریب14در جلو معادله زیر وجود دارد.
ρEf= 14V2π2ℏ3pυ12dpυ1V2π2ℏ3pυ22dpυ2(V2π2ℏ3F(Z,Ee1)pe12dpe1)(V2π2ℏ3F(Z,Ee2)pe22dpe2)(3-11)
بنابراین میزان واپاشی توسط رابطه زیر بدست می آید
λ= GV4me1132π7ℏ12MF2υ- MGT2υ2f2υββ(Z,E0)(3-12)
با
f2υββZ,E0= 1me110E0FZ,Ee1pe12dpe10E0- E1FZ,Ee1pe22dpe20E0- E1-E2pυ22dpυ2Eυ1Eυ12- mυ12(3-13)
و
Eυ1= E0- Ee1- Ee2- Eυ2(3-14)
که این معادله را می توان به فرم زیر بازنویسی کنیم.
λ= G2υZ,E0MF2υ-MGT2υ2(3-15)
شامل تمام انتگرال های فضای فاز و ثابت های وابسته است.G2υZ,E03-3 میزان واپاشی دوبتایی بدون نوترینویی
آن چنانکه شرح داده شد واپاشی دوبتایی بدون نوترینو که در شکل (3-5) نمایش داده شده در صورتی رخ می دهد که پایستگی عدد لپتونی نقص شود و نوترینوهای انتشار یافته مولفه هلیسیتی یکسان داشته باشند. پتانسیل نوترینو وابسته به فاصله بین دو هسته، r ، است و وابستگی ضعیف در انرژی حالت برانگیخته میانی، (En- Ei)، به عملگر گذار را نشان می دهد.
Hr,En= d3q2π2e-iq.rq(q+En-Ei+Ee)(3-16)
انرژی الکترون رها شده در اولین واپاشی است. عناصر ماتریس هسته ای را می توان به فرم زیرEeنشان داد
MF0υ= 0f+j=1Ak=1Aτj+τk+Hr,En0i+(3-17)
MGT0υ= 0f+j=1Ak=1Aσj . σkτj+τk+Hr,En0i+(3-18)

شکل (3-5) نمودار واپاشی 0υββ در مکانیسم دو-نوکلئونی.
تخمین مناسب برای پتانسیل نوترینو، فرم یوکاوا است آن چنانکه:
Hr,En ≈ e-mjrr(3-19)
که mj جرم موثر مایورانا است. در انتهای این فصل جرم موثر مایورانا توصیف شده است. توجه کنید که mjr خیلی کوچک است، از مرتبه 8-10 یا کوچکتر است و پتانسیل متناسب باr-1 است. بسط r-1 شامل تمام مرتبه های هماهنگ کروی است و بنابراین تمام مقادیر ∆Jمجاز هستند. فضای فاز محاسبه شده خیلی شبیه به واپاشی تک بتایی است، که تنها دو ذره خروجی الکترون ها هستند و با استفاده ازEe22=me2+ pe22خواهیم داشت
ne2= V2π2ℏ3 FZ,E0-Ee1(E0-Ee1)(E0-Ee1)2-me212(3-20)
و با جایگذاری معادله فوق در چگالی حالت های کل نهایی، انتگرال فرمی دیگری بدست می آید
f0υββZ,E0=FZ,Ee1FZ,E0-Ee1pe12(E0-Ee1)(E0-Ee1)2-me212dpe1(3-21)
و در نهایت میزان واپاشی λ به فرم زیر بدست می آید
λ= GV4π4MF0υ-MGT0υ2f0υββZ,E0mj2(3-22)
یا